Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

97 0 g – c 4.5 Ableitung von Umkehrfunktionen Satz Umkehrregel: Ist g die Umkehrfunktion der reellen Funktion f, dann gilt: g’(x) =   1 _  f’(g(x)) Beweis: Wir setzen y = f(x) und t = f(z) (siehe nebenstehende Abbildung). Dann ist x = g(y) und z = g(t). Die Zahl z nähert sich genau dann unbegrenzt der Zahl x, wenn sich die Zahl t unbegrenzt der Zahl y nähert. Somit gilt: g’(y) = lim    t ¥ y   g(t) – g(y) __  t – y  =  lim  z ¥ x   z – x __  f(z) – f(x)  =  lim    z ¥ x   1 __    f(z) – f(x) __ z – x  =   1 _  f’(x)  =   1 _  f’(g(y)) Schreibt man x statt y, ergibt sich: g’(x) =   1 _  f’(g(x))   Mit Hilfe der Umkehrregel können wir die Ableitungen von Logarithmusfunktionen ermitteln. Satz Ableitung einer Logarithmusfunktion: (1) f(x) = lnx w f’(x) =   1 _ x (2) f(x) = a logx w f’(x) =   1 _  x · lna (a ≠ 1) Beweis: (1) Die Funktion g mit g(x) = ln x ist die Umkehrfunktion der Funktion f mit f(x) = e x . Nach der Umkehrregel ergibt sich: g’(x) =   1 _  f’(g(x)) =   1 _  e g(x) =   1 _  e lnx =   1 _ x (2) Wir benutzen die Formel: b log x =   a logx _ a logb (siehe Mathematik verstehen 6, Seite 31) Setzen wir in dieser Formel b = a und a = e, ergibt sich: a log x =   e logx _  e loga =   lnx _ lna Somit gilt: f(x) = a log x =   lnx _  lna =   1 _  lna · lnx f’(x) =   1 _  lna ·   1 _  x =   1 _  x · lna  Aufgaben Vertiefung 4.79 Leite die Quadratwurzelregel mit Hilfe der Umkehrregel her! Lösung: Die Funktion g mit g(x) = 9 _ xist die Umkehrfunktion der auf R 0   + definierten Funktion f mit f(x) = x 2 . Es ist f’(x) = 2x. Nach der Umkehrregel ergibt sich: g’(x) =   1 _  f’(g(x))  =   1 _  2g(x)  =   1 _  2 9 _  x  4.80 Berechne f’(x)! a) f(x) = 2 · ln x d) f(x) = 5 · (lnx) 2 b) f(x) = ln(2x) e) f(x) = 2 · ln(x 2 + 3) c) f(x) = 3 · ln(x 2 ) f) f(x) = x · lnx z f y t x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv