Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

96 4 Untersuchen weiterer Funktionen 4.75 Das Fermat’sche Prinzip der Optik besagt, dass das Licht von einem vorgegebenen Punkt A 1 zu einem anderen vorgegebenen Punkt A 2 stets den schnellsten Weg wählt. Leite aus diesem Prinzip das Brechungsgesetz von Snellius her, das so lautet: Wird ein Lichtstrahl gebrochen und sind v 1 , v 2 die Lichtgeschwindigkeiten in den beiden Medien, dann gilt:   sin φ 1 _ sin φ 2 =   v 1 _ v 2 Lösung: Das Licht werde auf dem Weg von A 1 nach A 2 im Punkt P gebrochen. Die Zeit für den Weg des Lichts von A 1 über P nach A 2 beträgt: t(x) =   9 ____ x 2 + h 1 2 __ v 1 +   9 _______ (a – x) 2 + h 2 2 __ v 2 2  Zeit =   Weg ___   Geschwindigkeit   3 t’(x) =   1 _  v 1 ·   2x __  2 9 _ __ x 2 + h 1 2   +   1 _  v 2 ·   2(a – x) · (–1) ___  2 9 __ _ __ (a – x) 2 + h 2 2   =   1 _  v 1 ·   x __  9 __ _ x 2 + h 1 2   –   1 _  v 2 ·   a – x __  9 ___ ___ (a – x) 2 + h 2 2   Das Licht wählt den Abstand x so, dass t(x) minimal wird. t’(x) = 0 w   1 _  v 1 ·   x __  9 __ _ x 2 + h 1 2   =   1 _  v 2 ·   a – x __  9 ___ ___ (a – x) 2 + h 2 2 w   1 _  v 1 · sin φ 1 =   1 _  v 2 · sin φ 2 w   v 1 _ v 2 =   sin φ 1 _ sin φ 2 4.76 (Fortsetzung von Aufgabe 4.75): Leite aus dem Fermat´schen Prinzip das Reflexionsgesetz her: Wird ein Lichtstrahl an einem ebenen Spiegel reflektiert, dann ist der Einfallswinkel α gleich dem Reflexionswinkel β (siehe nebenstehende Abbildung). Hinweis: Bezeichne die Lichtgeschwindigkeit mit v! Zeige sin α = sin β , woraus α = β folgt! 4.77 Zwei Orte A und B möchten an einem in der Nähe befindlichen, geradlinigen Abschnitt CD eines Flussufers eine gemeinsame Trinkwasseraufbereitungsanlage E errichten (Maße in der Abbildung in Kilometer). Wo ist diese anzulegen, damit die Gesamtlänge der geradlinigen Rohrleitungen AE und BE möglichst niedrig ist? Hinweis: Zeige zuerst sin α = sin β , woraus α = β folgt! Die Dreiecke ACE und BED müssen also ähnlich sein. 4.78 Das Blutgefäßsystem des Körpers ist im Großen und Ganzen so angelegt, dass der Bluttransport mit möglichst geringem Widerstand erfolgt. Der Blutwiderstand R in einem zylindrischen Blutgefäß mit der Länge ® und dem Radius r beträgt: R = k ·   ®  _  r 4 . Dabei ist k eine Konstante, die von der Viskosität (Dünnflüssigkeit) des Bluts abhängt. Ein von A ausgehendes Hauptblutgefäß habe den Radius r 1 . Der Punkt B wird durch eine vom Punkt C ausgehende seitliche Verzweigung mit dem Radius r 2 erreicht (r 1 > r 2 ). Zeige: 1) Die optimale Lage des Verzweigungspunktes C (dh. jener Wert von x, für den der Gesamt widerstand des Bluts von A über C nach B am kleinsten ist) hängt lediglich von s und dem Verhältnis   r 1 _ r 2 ab. 2) Der optimale Verzweigungswinkel α hängt lediglich vom Verhältnis   r 1 _ r 2 ab. (Es genügt, dies für tan α zu zeigen.) P A 1 φ 1 φ 2 A 2 h 2 h 1 Medium 1 Medium 2 a x a – x P A 1 A 2 α β h h a x E A B C D α β 30 12 6 x C A B' B α ® x ® 1 r 1 s r 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv