Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

95 4.4 Die Kettenregel Extremwertaufgaben 4.67 Einem Halbkreis vom Radius r soll ein Rechteck wie in nebenstehender Abbildung eingeschrieben werden. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks zu wählen, damit  a) sein Flächeninhalt,  b) sein Umfang maximal wird? 4.68 Als „mittleren Wert“ von n Messwerten x 1 , x 2 , …, x n nimmt man häufig jenen Wert x, für den die Summe S(x) = (x – x 1 )  2 + (x – x 2 )  2 + … + (x – x n )  2 ein Minimum wird. Zeige, dass x gleich dem arithmetischen Mittel ​  x 1 + x 2 + … + x n ___ n  ​der Messwerte ist! 4.69 1) Welches ist der kürzeste Weg auf der Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge a von einer Ecke zur diametral gegenüberliegenden Ecke? 2) Wie kann man diese Aufgabe auch geometrisch lösen? 4.70 In einem Kreis mit dem Radius r wird eine Sehne CD normal auf den Durch- messer AB gezogen. Wo muss der Punkt E angenommen werden, damit der Flächeninhalt des Dreiecks ACD am größten wird? Löse die Aufgabe auf zwei Arten durch Einführung von 1)  x = ​ _ AE​,  2)  x = ​ _ ME​! Hinweis zu 2): Multipliziere die Klammerausdrücke nicht aus, sondern differenziere unter Verwendung der Produkt- und der Kettenregel! 4.71 Unter welchem Winkel α muss eine Seitenkante einer quadratischen Pyramide mit der Länge s zur Grundfläche geneigt sein, damit das Volumen der Pyramide möglichst groß ist? Hinweis: Drücke die Grundkantenlänge a und die Höhe h der Pyramide durch s und α aus! 4.72 Unter welchem Winkel α muss eine Erzeugende eines Drehkegels mit der Länge s zur Grundfläche geneigt sein, damit das Volumen des Kegels möglichst groß ist? Hinweis: Drücke den Radius r und die Höhe h des Kegels durch s und α aus! 4.73 Einer Kugel mit dem Radius R soll ein Zylinder a) mit größtem Volumen, b) mit größtem Oberflächeninhalt eingeschrieben werden. Berechne den Radius r und die Höhe h des Zylinders! Hinweise: Drücke r und h durch R und φ aus! sin(2 φ ) = 2 · sin φ  · cos φ 4.74 Auf der Straße von A nach B (​ _ AB​= 50 km) hat B mit 27km den kürzesten Abstand zum Haus H. Von A aus soll eine Wasserleitung zum Haus H verlegt werden. Die Kosten für die Verlegung betragen längs der Straße AB 120€ pro Laufmeter und im Gelände neben der Straße 165€ pro Laufmeter. Wo muss die Abzweigung C gewählt werden, damit die Gesamtkosten möglichst klein werden? Wie hoch sind die minimalen Gesamtkosten? r a a – x x A B r C D M E a h s α r h s α R φ h r H B C A 27 x 50 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv