Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

93 0 g – c 4.4 Die Kettenregel Die Funktion f mit f(x) = 9 __ 2xkönnen wir bereits differenzieren, die Funktion f mit f(x) = 9 ___ x 2 + 1 jedoch nicht. Diese Funktion ist von der Form f(x) = (u ° v) (x) = u(v(x)), wobei u(v(x)) = 9 ___ v(x)und v(x) = x 2 + 1. Ein nahe liegender Gedanke zur Herleitung einer Ableitungsregel für eine solche Funktion besteht darin, den Differenzenquotienten so zu zerlegen, wie wir es bei der Herleitung der Ableitungsregel für f(k · x) gemacht haben:   f(z) – f(x) __  z – x  =   u(v(z)) – u(v(x)) ___ z – x  =   u(v(z)) – u(v(x)) ___ v(z) – v(x)  ·   v(z) – v(x) __  z – x  f’(x) =  lim  z ¥ x   f(z) – f(x) __ z – x  = u’(v(x)) · v’(x) Leider ist dieses Vorgehen kein vollgültiger Beweis. Es funktioniert nämlich nur, wenn v(z) – v(x) ≠ 0 ist. Für v(x) = k · x mit k * R * war dies gewährleistet, im Allgemeinen muss dies aber nicht der Fall sein. Die vermutete Regel ist aber trotzdem richtig. Man kann sie auf eine korrekte Art be- weisen, wir führen den Beweis aber nicht durch. Satz Kettenregel: f(x) = u(v(x)) w f’(x) = u’(v(x)) · v’(x) In dieser Regel bezeichnet man u’(v(x)) als äußere Ableitung an der Stelle v(x) und v’(x) als innere Ableitung an der Stelle x . Damit ergibt sich eine einfache Merkhilfe für die Kettenregel: Merke Ableitung einer Verkettung = äußere Ableitung mal innere Ableitung 4.55 Berechne f’(x)! a) f(x) = 9 ___ x 2 + 1 b) f(x) = sin(2x + π ) Lösung: a) Es ist f(x) = u(v(x)) mit u(v(x)) = 9 ___ v(x)und v(x) = x 2 + 1. f’(x) = u’(v(x)) · v’(x) =   1 __  2 9 _ _ x 2 + 1 · 2x =   x _  9 ___ x 2 + 1 1222223422225 12345 äußere innere Ableitung Ableitung b) Es ist f(x) = u(v(x)) mit u(v(x)) = sin(v(x)) und v(x) = 2x + π . f’(x) = u’(v(x)) · v’(x) = cos(2x + π ) · 2 = 2 cos(2x + π ) 122222222234222222225 12345 äußere innere Ableitung Ableitung Bemerkung: Die Ableitungsregel für f(k · x) ist ein Spezialfall der Kettenregel. In der Leibniz’schen Schreibweise lässt sich die Kettenregel besonders einprägsam formulieren. Setzt man in der Gleichung [u(v(x))]’ = u’(v(x)) · v’(x) zur Abkürzung y = v(x), kann man die Kettenregel so schreiben:   du _ dx =   du _  dy ·   dy _ dx oder einprägsamer:   du _  dx  =  du  _  dv ·  dv  _  dx Beachte aber, dass die Differentialquotienten keine Brüche sind und daher auf der rechten Seite nicht durch dv gekürzt werden darf! Nur zu Prüfzwecken – Ei entum des Verlags öbv