Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

92 4 Untersuchen weiterer Funktionen Ableitung der Tangensfunktion Satz Ableitung der Tangensfunktion: f(x) = tanx w f’(x) =   1 _  cos 2 x = 1 + tan 2 x Beweis: f(x) = tan x =   sinx _ cosx Nach der Quotientenregel ergibt sich: f’(x) =   cosx · cosx – sinx · (–sinx) ____  cos 2 x =   cos 2 x + sin 2 x __ cos 2 x Diesen Term können wir auf zwei Arten weiter umformen: 1. Art: f’(x) =   cos 2 x + sin 2 x __ cos 2 x =   1 _  cos 2 x 2. Art: f’(x) =   cos 2 x + sin 2 x __ cos 2 x = 1 +   sin 2 x _ cos 2 x = 1 + tan 2 x  Aufgaben Vertiefung 4.50 Ermittle die Ableitung! a) f(x) = x + tanx c) f(x) = x · tanx e) f(x) = x · (1 + tan x) g) f(x) = tan(2x) b) f(x) =   tanx _ x  d) f(x) =   x _  tanx f) f(x) =   x 2 _  tanx h) f(x) =   tanx _ x 2 Ableitung der Quadratwurzelfunktion Satz Ableitung der Quadratwurzelfunktion: f(x) = 9 _ x w f’(x) =   1 _  2 9 _  x  Beweis:   f(z) – f(x) __  z – x  =   9 _ z– 9 _ x _ z – x  =   9 _ z– 9 _ x __  ( 9 _ z) 2 – ( 9 _ x) 2 =   9 _ z– 9 _ x ___   ( 9 _ z– 9 x) · ( 9 z+ 9 _ x) =   1 _  9 _ z+ 9 _ x f’(x) =  lim    z ¥ x   f(z) – f(x) __ z – x  =  lim    z ¥ x   1 _  9 _ z+ 9 _ x =   1 _  2 · 9 _ x  Aufgaben Vertiefung 4.51 Ermittle f’(x)! a) f(x) = 10 · 9 _ x b) f(x) = – 9 _ x c) f(x) = x + 9 _ x d) f(x) = 2x – 3 9 _ x 4.52 Ermittle f’(x)! a) f(x) =   1 _  9 _ x b) f(x) =   1 _ x – 9 _ x c) f(x) =   2 _  9 _ x + 3 d) f(x) =   9 _ x– 1 _  9 _ x 4.53 Ermittle den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f mit f(x) = 9 _ xund untersuche f in Hinblick auf Nullstellen, Monotonie, Krümmung, Extremstellen und Wendestellen! 4.54 Ein bewegter Körper werde gebremst und bewege sich für t º 0 gemäß der Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ 9 _ t(t in Sekunden, s(t) in Meter). 1) Stelle eine Formel für die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t auf! Für welche t gilt diese Formel? 2) Stelle eine Formel für die Beschleunigung des Körpers zum Zeitpunkt t auf! Für welche t gilt diese Formel? 3) Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Geschwindigkeit des Körpers nur mehr 1 cm/s? 4) Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Beschleunigung des Körpers nur mehr –1cm/s 2 ? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv