Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

91 4.3 Weitere Ableitungsregeln 4.44 Welche der folgenden Funktionen haben die gleiche Ableitung? Kreuze an! (1) f(x) = sin x (3) f(x) = 1 – cos x (5) f(x) = – cos x (2) f(x) = –   1 _ 2 · cos x (4) f(x) = – cos 2    x _ 2   3 (6) f(x) =   1 _ 2 · sin (2x)  (1) und (2)  (1) und (3)  (1) und (4)  (1) und (6)  (2) und (3)  (2) und (4)  (2) und (6)  (3) und (4)  (3) und (5) 4.45 Die Elongation einer schwingenden Feder zum Zeitpunkt t sei gegeben durch s(t) = sin t (t in Sekunden, s(t) in Meter). 1) Gib eine Formel für die Geschwindigkeit der Feder zum Zeitpunkt t an und berechne die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 4! 2) Gib eine Formel für die Beschleunigung der Feder zum Zeitpunkt t an und berechne die Beschleunigung zum Zeitpunkt 4! Funktionsuntersuchungen 4.46 Untersuche f im Intervall [0; 2 π ] in Hinblick auf Nullstellen, Monotonie, Krümmung, Extremstellen und Wendestellen! a) f(x) = sin x c) f(x) = 3 · sinx e) f(x) = 1 – sin x g) f(x) = sin x + cos x b) f(x) = cos x d) f(x) = – 4 · cos x f) f(x) = cos x + 2 h) f(x) = sin x – cos x 4.47 Untersuche f im Intervall [0; 2 π ] in Hinblick auf Nullstellen, Monotonie, Krümmung, Extremstellen und Wendestellen! a) f(x) = sin(2x) b) f(x) = sin   x _ 2 c) f(x) = cos(– x) d) f(x) = 2 · cos(3x) Aufgaben Vertiefung 4.48 Viele Systeme (zB Federungseinrichtungen in Kraftfahrzeugen) führen bei einer einmaligen Anregung eine „gedämpfte Schwingung“ aus. Für die Elongation s(t) zum Zeitpunkt t gilt dabei näherungsweise: s(t) = c · e – δ t · sin( ω t) (mit t * R 0   + ). Die Zahlen c, ω und δ sind positive Konstanten, die vom jeweili- gen System abhängen ( δ heißt Dämpfungskonstante). 1) Ermittle die Nullstellen der Funktion s! 2) Liegen die lokalen Extremstellen von s jeweils genau zwischen zwei benachbarten Nullstellen von s? 3) Sind die Wendestellen von s mit ihren Nullstellen identisch? 4) Zeige, dass der Graph von s zwischen den beiden „Einhüllenden“ f und g mit f(t) = c · e – δ t und g(t) = – c · e – δ t liegt! Berechne die Schnittpunkte des Graphen von s mit diesen Einhüllenden! Wie lässt sich nachweisen, dass der Graph von s die Einhüllenden in diesen Schnittpunkten berührt und nicht bloß schneidet? 4.49 Die sogenannten „Hyperbelfunktionen“ sind so definiert: Sinus hyperbolicus: sinh(x) =   1 _ 2 · (e x – e –x ) Cosinus hyperbolicus: cosh(x) =   1 _ 2 · (e x + e –x ) Gelten für diese Funktionen analoge Ableitungsregeln wie für den Sinus und den Cosinus? B 0 s c g t f – c s(t) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv