Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

90 4 Untersuchen weiterer Funktionen 4.37 Ermittle näherungsweise jene Stelle x * R , für die f’(x) = 1 ist! a) f(x) = e x b) f(x) = 2 · e x c) f(x) = e 4x d) f(x) = 10 x Aufgaben Vertiefung 4.38 Ermittle f’(x)! a) f(x) = x · e x b) f(x) = x 2 · e x c) f(x) = x 2 · e –x d) f(x) = x 2 · 3 2x Ableitung der Sinus- und Cosinusfunktion Satz Ableitung der Sinus- und Cosinusfunktion: (1) f(x) = sinx w f’(x) = cos x (2) f(x) = cos x w f’(x) = – sinx Beweisskizze: Wir benutzen das erste Additionstheorem (siehe Mathematik verstehen 6, Seite 90). (1)   f(x + h) – f(x) __ h  =   sin(x + h) – sinx ___ h  =   sinx · cosh + cosx · sinh – sinx _____  h  = sin x ·   cosh – 1 __ h  + cos x ·   sinh _ h  Man kann zeigen (vgl. die nebenstehende Tabelle):  lim  h ¥ 0   cosh – 1 __ h  = 0 und  lim    h ¥ 0   sinh _ h  = 1 Damit erhalten wir: f’(x) =  lim   h ¥ 0   f(x + h) – f(x) __ h  = sin x · 0 + cos x · 1 = cos x (2)   f(x + h) – f(x) __ h  =   cos(x + h) – cosx ___ h  =   cosx · cosh – sinx · sinh – cosx _____  h  = cos x ·   cosh – 1 __ h  – sin x ·   sinh _ h  f’(x) =  lim   h ¥ 0   f(x + h) – f(x) __ h  = cos x · 0 – sinx · 1 = – sin x  4.39 Ermittle f’(x)! a) f(x) = sin(k · x) (mit k * R *) b) f(x) = cos (k · x) (mit k * R *) Lösung: Nach der Ableitungsregel für f(k · x) gilt: a) f’(x) = k · cos(k · x) b) f’(x) = k · (– sin (k · x)) = – k · sin(k · x) Aufgaben Grundkompetenzen 4.40 Ermittle f’(x)! a) f(x) = 2 · sinx e) f(x) = – 2,5 · sin(4x) i) f(x) = x 2 – cos 2    3x _ 2    3 b) f(x) = 3 · cos x f) f(x) = cos x – sinx j) f(x) = – 4 · sin(2x) c) f(x) = – sin x g) f(x) = sin x + cos x k) f(x) = sin(3x) – cos(3x) d) f(x) = – cos x h) f(x) = x + sin(– x) l) f(x) = 8 · cos 2    x _ 2   3 4.41 Ermittle die Steigung der Sinusfunktion an der Stelle a) π , b)   π  _ 2 , c)   π  _ 4 , d)   3 π  _ 4  ! 4.42 Ermittle die Steigung der Cosinusfunktion an der Stelle a) π , b)   π  _ 2 , c)   π  _ 4 , d)   3 π  _ 4  ! 4.43 Ermittle näherungsweise jene Stellen x * [0; 2 π [ , für die gilt: a) sin’(x) = 0,7 b) cos’(x) = 0,7 c) sin’(x) = 0,4 d) cos’(x) = – 0,4 h   cosh – 1 __ h    sinh _ h  0,1 – 0,049958347… 0,998334166… 0,01 – 0,004999958… 0,999983333… 0,001 – 0,000500000… 0,999999833… 0,0001 – 0,000050010… 0,999999998… Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv