Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

9 1.1 Gleichungen höheren Grades Wegen f( α ) = 0 gilt: f(x) = f(x) – f( α ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 – (a n α n + a n – 1 α n – 1 + … + a 1 α + a 0 ) = Regel von Horner = a n  (x n – α n ) + a n – 1  (x n – 1 – α n – 1 ) + … + a 1  (x – α ) = = a n  (x – α )(x n – 1 + …) + a n – 1  (x – α )(x n – 2 + …) + … + a 1  (x – α ) = = (x – α )(a n x n – 1 + … …) = (x – α ) · g(x) Wegen a n ≠ 0 ist g(x) ein Polynom vom Grad n – 1.  „„ Den Faktor (x – α ) bezeichnet man als Linearfaktor zur Lösung α . „„ Die Zerlegung von f(x) in (x – α ) · g(x) bezeichnet man als Abspalten eines Linearfaktors . Dadurch kann das Lösen einer Gleichung vom Grad n auf das Lösen einer Gleichung vom Grad n – 1 zurückgeführt werden. Allerdings setzt dies voraus, dass man eine Lösung α der gegebenen Gleichung kennt. Eine solche kann man manchmal durch Probieren finden. Anzahl der Lösungen einer algebraischen Gleichung Hat eine algebraische Gleichung f(x) = 0 vom Grad n mehrere Lösungen α 1  , α 2  , …, α k  , so kann man fortlaufend Linearfaktoren abspalten und erhält: f(x) = (x – α 1 ) · (x – α 2 ) ·…· (x – α k ) · g(x) Da f(x) vom Grad n ist, kann man höchstens n Linearfaktoren abspalten und somit gilt: Satz Eine Gleichung vom Grad n hat höchstens n Lösungen. Beachte: Eine Gleichung vom Grad n kann durchaus weniger als n Lösungen haben. Zum Beispiel kann die Gleichung x 3 – 3x 2 + 3x – 1 = 0 in der Form (x – 1) 3 = 0 geschrieben werden, woraus man erkennt: Die Gleichung ist vom Grad 3, hat aber nur eine Lösung, nämlich 1. Aufgaben Vertiefung 1.11 Zeige, dass α eine Lösung der gegebenen Gleichung ist und ermittle alle weiteren Lösungen dieser Gleichung durch Abspalten von x – α ! a) x 3 – 7x + 6 = 0,  α = 1 e) x 3 + 2x 2 – 23x – 60 = 0,  α = – 3 b) x 3 + 2x 2 – x – 2 = 0,  α = 1 f) x 3 – 8x 2 + 19x – 12 = 0,  α = 3 c) x 3 – 2x 2 – 9x + 18 = 0,  α = 2 g) x 3 – 3x 2 – 6x + 8 = 0,  α = 4 d) 4x 3 + 4x 2 – 7x + 2 = 0,  α = – 2 h) 2x 3 + 9x 2 + 5x + 4 = 0,  α = – 4 1.12 Finde eine Lösung α der folgenden Gleichung durch Probieren und ermittle anschließend alle weiteren Lösungen der Gleichung durch Abspalten von x – α ! a) x 3 – 6x 2 + 11x – 6 = 0 e) x 4 + x 3 – 7x 2 – x + 6 = 0 b) x 3 – x 2 – 10x – 8 = 0 f) x 4 + 2x 3 – 13x 2 – 14x + 24 = 0 c) 4x 3 – 3x – 1 = 0 g) 2x 4 – 8x 3 + 9x 2 – 4x + 4 = 0 d) 2x 3 – x 2 – 13x – 6 = 0 h) 3x 4 + 11x 3 + 4x 2 – 20x – 16 = 0 1.13 Gib ein Beispiel einer Gleichung vom Grad 3 an, die  1) genau eine,  2) genau zwei,  3) genau drei Lösungen hat! Lösung zu 1): zB (x + 2) 3 = 0  É  x 3 + 6x 2 + 12x + 8 = 0  É  x = – 2 1.14 Gib ein Beispiel einer Gleichung vom Grad 4 an, die  1) genau eine,  2) genau zwei,  3) genau drei, 4) genau vier Lösungen hat! Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv