Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

89 0 g – c 4.3 Weitere Ableitungsregeln Ableitungsregel für f(k · x) Satz Ableitungsregel für f(k · x): g(x) = f(k · x)  w  g’(x) = k · f’(k · x)  (k * R *) Beweis: ​  g(z) – g(x) __  z – x  ​= ​  f(k · z) – f(k · x) ___  z – x  ​= ​  f(k · z) – f(k · x) ___ k · z – k · x  ​· ​  k · z – k · x __ z – x  ​= ​  f(k · z) – f(k · x) ___  k · z – k · x  ​· ​  k · (z – x) __  z – x  ​= = ​  f(k · z) – f(k · x) ___ k · z – k · x  ​· k = k · ​  f(k · z) – f(k · x) ___  k · z – k · x  ​  Da k · z genau dann gegen k · x strebt, wenn z gegen x strebt, folgt: g’(x) = ​ lim  z ¥ x​ ​​  g(z) – g(x) __  z – x  ​= ​ lim  z ¥ x​ ​k · ​ lim     k·z ¥ k·x ​​  f(k · z) – f(k · x) ___ k · z – k · x  ​= k · f’(k · x) Ableitung von Exponentialfunktionen Satz Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen: (1) f(x) = e x w  f’(x) = e x (2) f(x) = a x w  f’(x) = a x · lna  (wobei a * R + , a ≠ 1) Beweisskizze: (1) ​  f(x + h) – f(x) __ h  ​= ​  e x + h – e x __ h  ​= ​  e x  · e h – e x __ h  ​= e x  · ​  e h – 1 _ h  ​ Man kann zeigen (vgl. die nebenstehende Tabelle): ​ lim  h ¥ 0​ ​​  e h – 1 _  h  ​= 1 Damit erhalten wir: f’(x) = ​ lim  h ¥ 0​ ​​  f(x + h) – f(x) __ h  ​= e x  · 1 = e x (2) f(x) = a x = (e lna )  x = e lna · x Nach der Ableitungsregel für f(k · x) ergibt sich: f’(x) = ln a · e lna · x = ln a · (e lna )  x = lna · a x = a x  · lna  Bemerkung: Dieser Satz zeigt, dass die Euler’sche Zahl e in der Differentialrechnung eine besondere Rolle spielt. Die Funktion f mit f(x) = e x ändert sich beim Differenzieren nicht. Dies ist ein Grund, warum man die Zahl e häufig als Basis von Potenzen verwendet. 4.34 Es sei f(x) = e k · x mit k * R . Ermittle f’(x)! Lösung: Nach der Ableitungsregel für f(k · x) gilt: f’(x) = k · e k · x Aufgaben Grundkompetenzen 4.35 Ermittle f’(x)! a) f(x) = e x + 3 c) f(x) = e 2x e) f(x) = 2 x g) f(x) = 2 · e 2x b) f(x) = e –x d) f(x) = e –2x f) f(x) = –10 x h) f(x) = – 2 –2x 4.36 Ermittle den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f! Untersuche f in Hinblick auf Null- stellen, Monotonie, Krümmung, Extremstellen und Wendestellen! Zeichne den Graphen! a) f(x) = e x b) f(x) = e –x c) f(x) = e 2x d) f(x) = e –2x h ​  e h – 1 _ h  ​ 0,1 1,051709181… 0,01 1,005016708… 0,001 1,000500167… 0,0001 1,000050000… Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv