Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

88 4 Untersuchen weiterer Funktionen 4.23 Es soll eine drehzylindrische, oben offene Dose vom Volumen V = 1 000 cm³ hergestellt werden. Die Herstellungskosten für den Boden betragen 0,5 c/cm 2 , für die Wand 0,3 c/cm 2 . Welche Maße muss die Dose haben, damit die Herstellungskosten minimal sind? 4.24 Der Querschnitt eines Kanals hat die Form eines oben offenen Rechtecks. Die Querschnittsfläche soll 2m 2 betragen. Um den Reibungswiderstand des durchfließenden Wassers möglichst gering zu halten, soll der vom Wasser benetzte Teil des Querschnitts möglichst klein sein. Wie sind die Maße des Querschnitts zu wählen? 4.25 Der Querschnitt eines Kanals soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten und den Flächeninhalt A haben. Welche Maße muss der Kanal haben, damit zur Herstellung möglichst wenig Material benötigt wird (dh. der Umfang des Querschnitts minimal wird)? 4.26 Einem Quadrat mit der Seitenlänge a soll ein gleichschenkeliges Dreieck mit minimalem Flächen- inhalt umgeschrieben werden, sodass eine Seite des Quadrats auf der Grundlinie des Dreiecks liegt. Wie groß müssen Grundlinie und Höhe des Dreiecks gewählt werden? 4.27 Einem Rechteck mit den Seitenlängen a und b soll das flächenkleinste gleich- schenkelige Dreieck wie in nebenstehender Abbildung umgeschrieben werden. Berechne die Seitenlängen dieses Dreiecks! 4.28 Einem Quadrat mit der Seitenlänge a soll ein Rhombus mit kleinstem Flächen- inhalt wie in nebenstehender Abbildung umgeschrieben werden. Wie lang sind die beiden Diagonalen des Rhombus zu wählen? 4.29 Durch den Punkt P = (2 1 4) soll eine Gerade so gelegt werden, dass das von der Geraden und den beiden positiven Achsen des Koordinatensystems gebildete Dreieck einen möglichst kleinen Flächeninhalt hat. Berechne die Steigung dieser Geraden! 4.30 Welchen Radius und welche Höhe muss ein Drehzylinder mit dem Volumen V haben, damit sein Oberflächeninhalt möglichst klein ist? 4.31 Welchen Radius und welche Höhe muss ein oben offener Drehzylinder mit dem Volumen V haben, damit sein Oberflächeninhalt möglichst klein ist? 4.32 Über einem Tisch soll eine Lampe L angebracht werden. Die Beleuchtungs- stärke in einem Punkt P des Tisches ist direkt proportional zum Cosinus des Lichteinfallswinkels α und indirekt proportional zum Quadrat der Entfernung r = ​ _ LP​ . In welcher Höhe über dem Tisch muss die Lampe angebracht werden, damit ein 1m vom Fußpunkt F entfernter Punkt P am besten beleuchtet wird? 4.33 Für den Sicherheitsabstand s (in Meter) zweier Autos, die auf einer trockenen Straße fahren, gilt die Faustformel: s = ​  v 2 _  100 ​+ ​  v _  3,6 ​+ 6. Dabei ist v die Geschwindigkeit (in km/h), ​  v 2 _  100 ​der Bremsweg (in Meter), ​  v _  3,6 ​der Reaktionsweg (in Meter) und 6 die durchschnittliche Fahrzeuglänge (in Meter). Unter der Verkehrsdichte versteht man die Größe f(v) = 1 000 · ​  v _ s ​(Fahrzeuge pro Stunde). 1) Skizziere den Graphen von f im Bereich 5 ª v ª 100! 2) Für welche Geschwindigkeit v ist die Verkehrsdichte am größten? a b a P r α F L 1 Ó  Lernapplet 45zf9u Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv