Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

86 0 g c 4.2 Untersuchen rationaler Funktionen Definition Eine rationale Funktion ist eine reelle Funktion f: A ¥ R mit f(x) = ​  u(x) _ v(x) ​  , wobei u(x) und v(x) Polynome sind und v(x) ≠ 0 für alle x * A ist. Zur Untersuchung von rationalen Funktionen verwenden wir die gleichen Sätze wie für die Untersuchung von Polynomfunktionen. Man kann nämlich zeigen, dass diese Sätze auch für rationale Funktionen sowie für alle anderen in diesem Kapitel behandelten Funktionen gelten (siehe dazu Seite 107). 4.10 Ermittle die größtmögliche Definitionsmenge der Funktion f mit f(x) = ​  x 2 + 1 _  x 2 – 4 ​! Untersuche f in Hinblick auf Monotonie und lokale Extremstellen! Zeichne den Graphen von f! Lösung: „„ Die Funktion ist an jeder Stelle x * R definiert, ausgenommen an jenen Stellen, an denen der Nenner null ist. Die größtmögliche Definitionsmenge ist also R \{–2; 2}. „„ Nullstellen von f’: f’(x) = ​  2x · (x 2 – 4) – (x 2 + 1) · 2x ____   (x 2 – 4)  2 ​= ​  –10x __  (x 2 – 4)  2 ​= 0  É  x = 0 „„ Durch die Nullstellen des Nenners und die Nullstelle von f’ wird der Definitionsbereich von f in die folgenden Intervalle zerlegt: ]– • ; – 2[ , ]– 2; 0], [0; 2[ , ]2; • [ Im Inneren dieser Intervalle gibt es keine Nullstellen von f’. Somit ist f in diesen Intervallen streng monoton. Um die Art der Monotonie festzustellen, berechnen wir jeweils die erste Ableitung an einer inneren Stelle, zum Beispiel: f’(– 3) = ​  6 _ 5 ​> 0, f’(–1) = ​  10 _ 9  ​> 0, f’(1) = – ​  10 _ 9  ​< 0, f’(3) = – ​  6 _ 5 ​< 0 Somit ist f in ]– • ; – 2[ streng monoton steigend, in ]– 2; 0] streng monoton steigend, in [0; 2[ streng monoton fallend und in ]2; • [ streng monoton fallend. Die Stelle 0 ist somit eine lokale Maximumstelle von f. „„ Berechne selbst einige Punkte und zeichne den Graphen! Wegen f(– x) = f(x) ist der Graph symmetrisch bezüglich der 2. Achse. Die Stellen – 2 und 2 in der letzten Aufgabe bezeichnet man als Polstellen der Funktion f. Definition Eine Stelle a heißt Polstelle einer reellen Funktion f, wenn gilt: (1) f ist in einer Umgebung von a definiert, aber nicht an der Stelle a. (2) Nähert sich x von links oder rechts her unbegrenzt der Stelle a, so strebt f(x) gegen • oder – • . Ist a eine Polstelle von f, so kommt der Graph von f der Geraden x = a von beiden Seiten her beliebig nahe. Man bezeichnet diese Gerade daher als eine Asymptote des Graphen von f. Man sagt auch: Der Graph von f nähert sich dieser Geraden asymptotisch. 4 6 8 x f(x) 2 4 6 –4 –6 –8 –2 –4 –6 –2 2 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv