Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

85 4.1 Produktregel und Quotientenregel Aufgaben Vertiefung 4.02 Bilde die Ableitung von f auf zwei Arten, einmal mit Hilfe der Produktregel und einmal wie vorher durch Ausmultiplizieren! a) f(x) = x(x + 1) b) f(x) = (x 2 + x + 1)(x 3 – x) c) f(x) = (x + 3)(2x 3 – 5x 2 + 10) Die Quotientenregel 4.03 1) Es sei f(x) =   x 2 _ x  (x ≠ 0). Ermittle f’(x)! 2) Es ist f(x) =   u(x) _ v(x) mit u(x) = x 2 und v(x) = x. Gilt f’(x) =   u’(x) _ v’(x) ? Lösung: 1) f(x) =   x 2 _ x  = x w f’(x) = 1 2) Dies gilt nicht, denn auf diese Weise würden wir erhalten: f’(x) =   2x _ 1  = 2x Eine korrekte Regel sieht etwas komplizierter aus: Satz Quotientenregel: f(x) =   u(x) _ v(x) w f’(x) =   u’(x) · v(x) – u(x) · v’(x) ____ [v(x)] 2 Kurz: f =   u _ v w f’ =   u’v – uv’ __ v 2 Beweis:   f(z) – f(x) __  z – x  =     u(z) _  v(z) –   u(x) _ v(x) __  z – x  =   u(z)v(x) – v(z)u(x) ___  (z – x) · v(z) · v(x) . Wir fügen im Zähler –u(x)v(x) + u(x)v(x) (also 0) ein:   f(z) – f(x) __  z – x  =   u(z)v(x) – u(x)v(x) + u(x)v(x) – v(z)u(x) ______  (z – x)v(z)v(x)  =   [u(z) – u(x)] · v(x) – u(x) · [v(z) – v(x)] ______  (z – x)v(z)v(x)  = =   1 __  v(z)v(x) · 4    u(z) – u(x) __  z – x  · v(x) – u(x) ·   v(z) – v(x) __ z – x    5 f’(x) =  lim  z ¥ x   f(z) – f(x) __  z – x  =   1 __  v(x)v(x) · [u’(x) · v(x) – u(x) · v’(x)] =   u’(x)v(x) – u(x)v’(x) ___ [v(x)] 2  4.04 Differenziere die Funktion f mit f(x) =   x _  x + 1 ! Lösung: f’(x) =   1 · (x + 1) – x · 1 ___  (x + 1) 2 =   1 _  (x + 1) 2 Aufgaben Vertiefung 4.05 An welchen Stellen ist die Funktion f definiert? Ermittle die Ableitung von f! a) f(x) =   1 _ x c) f(x) =   x 2 _  2x – 1  e) f(x) =   x – 1 _  x + 1 g) f(x) =   3x 2 + 2 _ x 3 – 1 i) f(x) =   x 2 + x + 1 __ 2x 3 b) f(x) =   x – 1 _ x 2 d) f(x) =   x _  x – 1 f) f(x) =   x – 1 _  x 2 + 1 h) f(x) =   2 – x 2 _ x 3 – 1 j) f(x) =   x + 1 _  x 2 + 1 4.06 An welchen Stellen ist die angegebene Funktion definiert? Ermittle die Ableitung! a) A(t) =   a _  bt – c (b ≠ 0) b) G(z) =   a · z 2 _ bz + 1 (b ≠ 0) c) g (r) =   1 _  ar  +   b _  r 2 – 4 (a ≠ 0) 4.07 Berechne die Steigung der Funktion f an den Stellen 0 und 2! a) f(x) =   1 _  x + 1 b) f(x) = –   1 _  x 2  + 1 c) f(x) =   2x _  x 2 + 2 d) f(x) =   x + 1 _  x – 1 e) f(x) =   x + 2 _  1 – x f) f(x) =   x 2 + 3 _  1 + x  4.08 In welchen Punkten des Graphen von f ist die Tangentensteigung gleich –1 bzw. 0? a) f(x) =   x 2 + 1 _  x – 1  b) f(x) =   x 2 + 2 _ x  c) f(x) =   x + 3 _ 1 + x d) f(x) =   x 2 _  x + 1  4.09 Beweise die Ableitungsregel: f(x) =   1 _ x w f’(x) = –   1 _  x 2 (für x ≠ 0) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv