Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

84 0 s g t c Grundkompetenzen „„ Die Ableitung von f(k · x) ermitteln können. „„ Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen und Winkelfunktionen (sin und cos) kennen und für Funktionsuntersuchungen verwenden können. „„ Die Produktregel, Quotientenregel und weitere Ableitungsregeln für elementare Funktionen kennen und für Funktionsuntersuchungen verwenden können. 4.1 Produktregel und Quotientenregel Die Produktregel 4.01 1) Es sei f(x) = (x 3 – 1) · (x + 2). Ermittle f’(x)! 2) Es ist f(x) = u(x) · v(x) mit u(x) = x 3 – 1 und v(x) = x + 2. Gilt f’(x) = u’(x) · v’(x)? Lösung: 1) f(x) = (x 3 – 1) · (x + 2) = x 4 + 2x 3 – x – 2  w  f’(x) = 4x 3 + 6x 2 – 1 2) Dies gilt nicht, denn auf diese Weise würden wir erhalten: f’(x) = 3x 2  · 1 = 3x 2 Eine korrekte Regel ist jedoch die folgende: Satz Produktregel: f(x) = u(x) · v(x)  w  f’(x) = u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x) Kurz: f = u · v  w  f’ = u’v + uv’ Merke Ableitung eines Produkts = erster Faktor differenziert mal zweiter Faktor unverändert +   + erster Faktor unverändert mal zweiter Faktor differenziert Beweis der Regel: ​  f(z) – f(x) __  z – x  ​= ​  u(z) · v(z) – u(x) · v(x) ___  z – x  ​ Wir fügen im Zähler –u(x)v(z) + u(x)v(z) (also 0) ein: ​  f(z) – f(x) __  z – x  ​= ​  u(z) · v(z) – u(x) · v(z) + u(x) · v(z) – u(x) · v(x) _______   z – x  ​= ​  [u(z) – u(x)] · v(z) + u(x) · [v(z) – v(x)] ______   z – x  ​= = ​  u(z) – u(x) __  z – x  ​· v(z) + u(x) · ​  v(z) – v(x) __  z – x  ​ f’(x) = ​ lim  z ¥ x​ ​​  f(z) – f(x) __  z – x  ​= u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x)  Beispiel: f(x) = (x 3 – 1) · (x + 2)  w  f’(x) = 3x 2  · (x + 2) + (x 3 – 1) · 1 = 4x 3 + 6x 2 – 1 122234225 122234225 12345 122234225 122234225 12345 u(x) v(x) u ’ (x) v(x) u(x) v ’ (x) Bemerkung: Wenn u(x) und v(x) Polynome sind, ist die Produktregel nicht unbedingt nötig, weil man die beiden Klammern ausmultiplizieren kann. Wir werden aber später auch Funktionen wie zB f(x) = x · e x betrachten, die ohne Produktregel nicht differenziert werden können. 4 Untersuchen weiterer Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv