Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

82 3 Untersuchen von Polynomfunktionen „ 3.188 Von einer reellen Funktion f vom Grad 3 weiß man nur, dass gilt: a) f(– 3) = 5, f(2) = 1, f’(x) > 0 für x < –3, f’(– 3) = 0, f’(x) < 0 für – 3 < x < 2, f’(2) = 0, f’(x) > 0 für x > 2 b) f(–1) = – 3, f(5) = 2, f’(x) < 0 für x < –1, f’(–1) = 0, f’(x) > 0 für –1 < x < 5, f’(5) = 0, f’(x) < 0 für x > 5 Was kann aufgrund dieser Angaben über f ausgesagt werden? Skizziere den ungefähren Verlauf des Graphen von f! „ 3.189 Wie kann der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 aussehen, wenn man weiß: a) Die einzigen Nullstellen von f’ sind – 3 und 2. Weiters ist f(– 3) = 5 und f(2) = 1. b) f(0) = 5, f’(0) = 0, f’(– 3) = 2 und f’(2) = 1 „ 3.190 Für einen bestimmten Artikel lässt sich die Abhängigkeit der Produktionskosten K in Euro von unterschiedlichen Produktionsmengen x folgendermaßen anschreiben: Der Zusammenhang zwischen x und K lässt sich näherungsweise durch eine Polynomfunktion beschreiben. Stelle die Zahlenpaare (x 1  1 K 1 ), (x 2  1 K 2 ), … in einem Koordinatensystem dar! Welchen Grad hat die Funktion K vermutlich? „ 3.191 In der Abbildung sind die Graphen zweier Polynomfunktionen vom Grad 2 dargestellt. a) Gib Termdarstellungen der beiden Funktionen an! b) Trage in die Tabelle Zahlen x 1 und x 2 ein, für die f’(x 1 ) = g’(x 2 ) gilt! „ 3.192 Wird ein Stein mit der Geschwindigkeit ​ ​ _  À  v​= (v 1  1 v 2 ) von einem Abhang schräg nach oben geworfen, so lässt sich seine Flug- bahn annähernd durch den Graphen der folgenden Funktion f beschreiben: f(x) = ​  v 2 _ v 1 ​· x – ​  g _  2​v​ 1 ​  2 ​ ​· x 2  (0 ª x ª d) Dabei ist g die Erdbeschleunigung und d die horizontale Wurf- weite. 1) An welcher Stelle hat der Stein seinen höchsten Punkt erreicht und wie hoch ist er dort über dem Abschusspunkt? 2) An welcher Stelle erreicht der Stein wieder die Höhe des Abschusspunktes? „ 3.193 Von einer Funktion f kennt man die Ableitung f’. Skizziere den Graphen von f’ und ermittle aus dieser Skizze den ungefähren Verlauf der Funktion f unter der Voraussetzung, dass f (0) = 2 ist! a) f’(x) = (x – 1)(x – 3) b) f’(x) = (x – 1) 2 Hinweis: Ermittle zuerst die Nullstellen von f! Ó Produktionsmenge x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Produktionskosten K 6 9 11 12 14 16 19 23 29 38 2 4 1 3 1. A. 2. A. 2 4 3 –2 –4 –1 –3 –2 –4 –1 0 f –3 1 g x 1 x 2 x f(x) d v 1 v 2 v 2 v Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv