Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

8 1 Gleichungen und Polynomfunktionen Lösen durch Abspalten eines Linearfaktors Für das Weitere benötigen wir die folgende Rechenregel: Satz Regel von HORNER Für alle a, b * R und alle n * N * gilt: a n – b n = (a – b)(a n – 1 + a n – 2 · b 1 + … + a 1 · b n – 2 + b n – 1 ) Beweis: (a – b)(a n – 1 + a n – 2 · b + … + a · b n – 2 + b n – 1 ) = = a n + a n – 1 · b + a n – 2 · b 2 + … + a 2 · b n – 2 + a · b n – 1 – – a n – 1 · b – a n – 2 · b 2 – … – a 2 · b n – 2 – a · b n – 1 – b n = a n – b n  1.10 Zeige, dass 1 eine Lösung der Gleichung x 3 + 2x 2 – 13x + 10 = 0 ist und ermittle alle Lösungen dieser Gleichung! Lösung: Es gilt 1 3 + 2 · 1 2 – 13 · 1 + 10 = 0. Somit ist 1 eine Lösung der Gleichung. Um die weiteren Lösungen zu ermitteln, zerlegen wir das Polynom f(x) = x 3 + 2x 2 – 13x + 10. Dies kann man auf zwei Arten durchführen: 1. Art (mit der Regel von Horner): Wegen f(1) = 0 können wir schreiben: f(x) = f(x) – f(1) = x 3 + 2x 2 – 13x + 10 – (1 3 + 2 · 1 2 – 13 · 1 + 10) = Regel von Horner = (x 3 – 1 3 ) + 2 · (x 2 – 1 2 ) – 13 · (x – 1) = = (x – 1)(x 2 + x + 1) + 2 · (x – 1)(x + 1) – 13 · (x – 1) = = (x – 1) · [(x 2 + x + 1) + 2 · (x + 1) – 13] = (x – 1) · (x 2 + 3x – 10) 2. Art (mittels Polynomdivision): (x 3 + 2x 2 – 13x + 10) : (x – 1) = x 2 + 3x – 10 (+) – x 3 (–) + x 2 3x 2 – 13x (+) – 3x 2 (–) + 3x –10x + 10 (–) + 10x (+) – 10 0 Wir erhalten (Probe zur Division): f(x) = (x – 1) · (x 2 + 3x – 10) In beiden Fällen kann die gegebene Gleichung so geschrieben werden: (x – 1) · (x 2 + 3x – 10) = 0 x = 1 = x = 2 = x = – 5 (Rechne nach!) Das Vorgehen auf die erste Art lässt sich zu einem Beweis eines Satzes ausbauen: Satz Ist f(x) ein Polynom vom Grad n und α eine Lösung der Gleichung f(x) = 0, dann gilt f(x) = (x – α ) · g(x) für alle x * R , wobei g(x) ein Polynom vom Grad n – 1 ist. Beweis: f(x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 (mit a n ≠ 0) f( α ) = a n α n + a n – 1 α n – 1 + … + a 1 α + a 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv