Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

75 A C a x x a – x Q Extremwertaufgaben waren schon den alten Griechen bekannt. Bereits EUKLID (um ca. 300 v.Chr.) betrachtete die Aufgabe: Welches Recht- eck mit vorgegebenem Umfang besitzt den größten Flächeninhalt (vgl. Aufgaben 3.109 und 3.113)? Er löste diese Aufgabe durch geometri- sche Überlegungen, die wir hier nachvollziehen wollen. A C B x x x x s – x s Wir betrachten ein beliebiges Rechteck R (blau) und ein Quadrat Q mit der Seitenlänge s, das den gleichen Umfang wie das Rechteck R hat (rot un- terlegt). Wir legen das Quadrat Q und das Recht- eck R wie in obiger Abbildung übereinander. Da Q und R den gleichen Umfang haben, müssen alle mit x bezeichneten Strecken die gleiche Länge haben. Das Teilrechteck A hat den Flächeninhalt (s – x) · x und das Teilrechteck B hat den Flächen- inhalt s · x. Wegen s > s – x ist der Flächeninhalt von B größer als der von A. Somit ist auch der Flä- cheninhalt des Quadrats Q = B ± C größer als der des Rechtecks R = A ± C. Da das Rechteck R ein beliebiges Rechteck war, folgt, dass das Quadrat das flächengrößte Rechteck mit vorgegebenem Umfang ist. Im 17. Jahrhundert wurden Extremwertauf­ gaben mit Methoden behandelt, die im Prinzip schon den Methoden der Differentialrechnung entsprochen haben. Pierre de FERMAT (1601 –1665) löste die obige Aufgabe folgender- maßen. Er bezeichnet den gegebenen Umfang mit 2a und die Seitenlängen des Rechtecks mit x und a – x. Das Problem besteht darin, jenen Wert von x zu finden, für den der Flächeninhalt A(x) = x(a – x) = ax – x 2 den größten Wert an- nimmt. FERMAT geht davon aus, dass sich bei einer sehr kleinen Änderung von x in der Nähe der Maximumstelle der Flächeninhalt nur sehr wenig ändert. Ist e eine sehr kleine positive Zahl, so gilt also näherungsweise: A(x – e) = A(x) (x – e)(a – x + e) = x(a – x) Rechne nach, dass sich diese Gleichung verein- fachen lässt zu: a – 2x = e Diese Beziehung ist umso besser erfüllt, je klei- ner e ist. Setzt man e = 0, ergibt sich: a – 2x = 0 Daraus erhält man x = ​  a _ 2 ​und a – x = ​  a _ 2 ​ . Somit ist das Quadrat mit der Seitenlänge ​  a _ 2 ​das flächen- größte Rechteck mit dem Umfang 2a. Aus heutiger Sicht entspricht die Gleichung a – 2x = 0 der Gleichung A’(x) = 0. FERMAT macht also nichts anderes als die 1. Ableitung von A gleich null zu setzen. Dass ​  a _ 2 ​ eine Maximumstelle von A ist, ist auf- grund der Problemstellung klar und wird von Fermat nicht weiter begründet. Schon etwas früher (um 1610) hat Johannes KEPLER auf ähnliche Weise ein damals übliches Verfahren zur Bestimmung des Volumens von Fässern kritisch untersucht. René DESCARTES (1596 –1650) hat mit der Methode von FERMAT die folgende Aufgabe behandelt: Eine Strecke ist so in zwei Strecken zu unterteilen, dass der aus dem Quadrat der einen Strecke und der an- deren Strecke gebildete Quader ein maximales Volumen besitzt. Historisches zu Extremwertaufgaben EUKLID (ca. 300 v.Chr.) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv