Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

74 3 Untersuchen von Polynomfunktionen Extremstellen am Rand eines Intervalls 3.154 100m eines geraden Zauns stehen schon. Es sollen 200m Zaun so hinzu- gefügt werden, dass ein möglichst großes rechteckiges Areal entsteht (siehe nebenstehende Abbildung). Wie sind die Maße des Areals zu wählen? Lösung: A(x, y) = (100 + x) · y Nebenbedingung: 100 + 2x + 2y = 200 y = 50 – x A(x) = (100 + x) · (50 – x) = 5000 – 50x – x 2 (0 ª x ª 50 unter Einbeziehung der Extremfälle x = 0 und x = 50) A’(x) = – 50 – 2x = 0 É x = –25 Die Stelle x = –25 liegt aber nicht im Intervall [0; 50]. Somit kommen als globale Extremstellen in diesem Intervall nur die Randstellen in Frage. Wegen A(0) = 5000 und A(50) = 0 ist 0 die einzige globale Extremstelle in diesem Intervall. Man erhält also das größte rechteckige Areal, wenn man das bestehende Zaunstück zu einem Rechteck mit der anderen Seitenlänge 50 ergänzt. An der nebenstehenden Abbildung sieht man, dass die Stelle x = – 25 eine globale Maximumstelle von f in R ist. Da f aber nur im Intervall [0; 50] definiert ist, nimmt f das Maximum in diesem Intervall an der Randstelle 0 an. Aufgaben Vertiefung 3.155 Von einer rechteckigen Glasscheibe ist eine Ecke abgesprungen. Man möchte aus dem verbleibenden Rest ein möglichst großes Recht- eck wie in der Abbildung herausschneiden. Wie müssen die Maße dieses Rechtecks gewählt werden und wie viel macht der dabei entstehende (minimale) Abfall aus? Hinweis: 100 ª x ª 125 bzw. 60 ª y ª 80 3.156 Von einem gleichschenkeligen Trapez sind gegeben: a) a = 8, c = 2, h = 3 b) a = 8, c = 6, h = 3 Dem Trapez soll ein Rechteck mit größtem Flächeninhalt so eingeschrieben werden, dass eine Rechteckseite auf der Grundlinie des Trapezes liegt. Hinweis: c ª x ª a bzw. 0 ª y ª h 3.157 Welcher Punkt des Graphen der Funktion f: [0; 4] ¥ R , f(x) = (4 – x) · 9 _ x, hat vom Punkt P den kleinsten Abstand, welcher den größten? Runde die Koordinaten auf zwei Nachkommastellen! a) P = 2    1 _  2   1  0  3 b) P = 2      5 _  2   1  0  3 c) P = 2      15 _ 8    1  0  3 d) P = (4 1 0) Hinweis: Beachte die Randstellen! x 100 y 0 25 –25 –50 –75 1000 2000 3000 4000 5000 6000 x A(x) 50 125cm x 100cm 60cm 80cm y a c x h y 1 P 2 3 4 f(x) 1 2 3 0 x ( x 1 f(x) ) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv