Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

73 3.8 Extremwertaufgaben Bei manchen Extremwertaufgaben ist es rechnerisch einfacher, anstelle der Zielfunktion f die Funktion f 2 zu betrachten. Dies wird in der nächsten Aufgabe illustriert. 3.145 Welches unter allen einem Kreis vom Radius r eingeschriebenen Rechtecken hat den größten Flächeninhalt? Lösung: A(x, y) = x · y Nebenbedingung: x 2 + y 2 = 4r 2 y = 9 ____ 4r 2 – x 2 (wegen y º 0) A(x) = x 9 ____ 4r 2 – x 2   Diese Funktion können wir (noch) nicht differenzieren. Wir können aber anstelle der Funktion A die Funktion A 2 betrachten: A 2 (x) = x 2 · (4r 2 – x 2 ) = 4r 2 x 2 – x 4 (0 ª x ª 2r unter Einbeziehung der Extremfälle x = 0 und x = 2r) ( A 2 ) ’(x) = 8r 2 x – 4x 3 = 0 Setze selbst fort! Es ergibt sich: Das Quadrat mit der Seitenlänge r 9 _ 2hat den größten Flächeninhalt. Aufgaben Vertiefung 3.146 Welches Rechteck mit dem Umfang u hat die kürzeste Diagonale? 3.147 Welches rechtwinkelige Dreieck mit der Hypotenusenlänge c hat den größten Flächeninhalt? 3.148 Ein gerades Drahtstück der Länge a soll zu einem gleichschenkeligen Dreieck mit möglichst großem Flächeninhalt verformt werden. Wie sind die Seitenlängen des Dreiecks zu wählen? 3.149 Aus zwei Brettern der Breite a soll eine Rinne mit möglichst großer dreieckiger Querschnittsfläche hergestellt werden. Wie groß ist der Inhalt der Querschnittsfläche? 3.150 Einem Halbkreis mit dem Radius r = 6 cm ist ein gleichschenkeliges Dreieck von größtem Flächeninhalt einzuschreiben, dessen Spitze im Mittel- punkt des Halbkreises liegt und dessen Grundlinie parallel zum Durch- messer des Halbkreises ist. Wie lang ist die Grundlinie des Dreiecks zu wählen? 3.151 Einem Kreis mit dem Radius r ist das flächengrößte gleichschenkelige Dreieck einzuschreiben. Wie sind seine Seitenlängen zu wählen? 3.152 Einem Halbkreis vom Radius r = 6 soll ein Rechteck so eingeschrieben werden, dass eine Seite auf dem Durchmesser liegt und der Flächeninhalt möglichst groß ist. Wie sind seine Seitenlängen zu wählen? 3.153 Welches gleichschenkelige Dreieck mit der Schenkellänge s hat den größten Flächeninhalt? x y 2r c h a a r r r r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv