Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

72 3 Untersuchen von Polynomfunktionen 3.137 Einem rechtwinkeligen Dreieck mit den Kathetenlängen a und b ist ein Rechteck so einzuschreiben, dass eine seiner Ecken im Scheitel des rechten Winkels liegt. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks zu wählen, damit dessen Flächeninhalt maximal wird? 3.138 Einem Dreieck ABC mit der Grundlinie c und der Höhe h soll ein Dreieck PQR so eingeschrieben werden, dass PQ u AB und R auf der Seite AB liegt. Welchen Abstand muss PQ von AB haben, damit der Flächeninhalt des Dreiecks PQR am größten ist? 3.139 Einem gleichschenkeligen Dreieck mit der Grundlinienlänge a und der Höhe h wird ein gleichschenkeliges Dreieck eingeschrieben, dessen Spitze in der Mitte der Grundlinie liegt. Wie groß ist seine Höhe zu wählen, damit sein Flächeninhalt maximal wird? 3.140 Einem Dreieck mit der Grundlinienlänge c und der Höhe h ist ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt so einzuschreiben, dass eine Rechteckseite auf der Grundlinie liegt. Wie sind die Maße dieses Rechtecks zu wählen? 3.141 Einem Kegel mit dem Radius R und der Höhe H soll ein Zylinder mit möglichst großem Mantel eingeschrieben werden (nebenstehend ist ein Achsenschnitt abgebildet). Berechne den Radius r und die Höhe h des Zylinders! 3.142 Einem Drehkegel mit dem Radius r = 6 cm und der Höhe h = 12 cm ist der volumsgrößte Drehzylinder einzuschreiben (nebenstehend ist ein Achsen- schnitt abgebildet). Wie groß ist das Volumen dieses Zylinders? 3.143 Einem Drehkegel mit dem Radius R und der Höhe H ist ein Drehkegel von größtem Volumen so eingeschrieben, dass seine Spitze im Mittelpunkt des Grundkreises des gegebenen Drehkegels liegt (nebenstehend ist ein Achsen- schnitt dargestellt). Berechne den Radius r, die Höhe h und das Volumen des eingeschriebenen Drehkegels! Vereinfachen der Zielfunktion durch Quadrieren 3.144 a) Gegeben seien die Funktionen f: A ¥ R und f 2 : A ¥ R , wobei f 2 (x) = [f(x)] 2 und f(x) º 0 für alle x * A. Zeige: Eine Stelle p * A ist genau dann Maximumstelle von f in A, wenn p Maximumstelle von f 2 in A ist. b) Formuliere eine analoge Aussage für eine Minimumstelle von f in A und beweise sie! Lösung zu a): Da f keine negativen Werte annimmt, gilt: p ist Maximumstelle von f in A  É  f(x) ª f(p) für alle x * A  É  [f(x)] 2 ª [f(p)] 2 für alle x * A  É É  f 2 (x) ª f 2 (p) für alle x * A  É  p ist Maximumstelle von f 2 in A. C A B R P Q h a H r R h h y x r H h r R 0 1 p 1 f f 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv