Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

71 3.8 Extremwertaufgaben Aufgaben Vertiefung 3.129 Welches gleichschenkelige Dreieck vom Umfang u = 2 s ergibt bei Drehung um seine Symmetrie- achse einen Kegel von maximalem Volumen? 3.130 Eine Zeltpyramide mit quadratischer Grundfläche soll aus vier Seitenstäben von je 5m Länge so hergerichtet werden, dass der entstehende Raum möglichst groß wird. Welche Höhe muss das Zelt haben? 3.131 Einer Kugel vom Radius R ist ein Drehzylinder von größtem Volumen einzu- schreiben (nebenstehend ist ein Achsenschnitt dargestellt). In welchem Verhältnis stehen die Volumina der beiden Körper zueinander? 3.132 Welcher von allen Drehkegeln mit der Erzeugendenlänge s hat das größte Volumen? Ermittle Radius und Höhe dieses Kegels! 3.133 Einer Kugel vom Radius R ist ein Kegel von größtem Volumen einzuschreiben (nebenstehend ist ein Achsenschnitt dargestellt). Berechne den Radius r und die Höhe h dieses Kegels! 3.134 Einer Halbkugel mit dem Radius R soll ein auf der Spitze stehender Drehkegel wie in nebenstehender Abbildung eingeschrieben werden. Wie sind seine Abmessungen zu wählen, damit sein Volumen möglichst groß wird? Aufgaben mit dem Strahlensatz (bzw. mit ähnlichen Dreiecken) 3.135 Einem gleichschenkeligen Dreieck mit der Basislänge c und der Höhe h soll ein Rechteck eingeschrieben werden, dessen eine Seite auf der Basis des Dreiecks liegt. Wie müssen die Seitenlängen des Rechtecks gewählt werden, damit dessen Flächeninhalt maximal wird? Lösung: „„ A(x, y) = x · y „„ Nebenbedingung: x : c = (h – y) : h (Strahlensatz) xh = ch – cy y = ​  h _  c ​· (c – x) „„ A(x) = x · ​  h _ c ​· (c – x) (0 ª x ª c unter Einbeziehung der Extremfälle x = 0 und x = c) Setze selbst fort! Es ergibt sich: Das Rechteck mit den Seiten­ längen x = ​  c _ 2 ​und y = ​  h _ 2 ​hat den größten Flächeninhalt. Aufgaben Vertiefung 3.136 Eine Kunststoffplatte hat die Form eines rechtwinkeligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 18 cm und 24 cm (siehe Abbildung). Durch zwei Schnitte parallel zu den Katheten ist ein Rechteck herauszuschneiden. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks zu wählen, damit dessen Flächeninhalt maximal wird? M r R M R r h h R r x A' B' C = C' A B c h y h – y 24 cm 18 cm x y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv