Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

70 3 Untersuchen von Polynomfunktionen Aufgaben mit dem pythagoräischen Lehrsatz 3.128 Die Tragfähigkeit T eines quaderförmigen Balkens ist direkt proportional zur Breite b und zum Quadrat der Höhe h, also T = c · b · h 2 , wobei c eine Konstante ist, die vom Material abhängt. Ein Balken soll aus einem zylindrischen Stamm vom Durchmesser d = 48 cm geschnitten werden. Wie groß müssen Breite und Höhe des Balkens gewählt werden, damit dessen Tragfähigkeit möglichst groß wird? Lösung: „„ Der Querschnitt des Zylinders ist ein Kreis mit dem Durchmesser 48. Der Querschnitt des Balkens ist ein Rechteck, das diesem Kreis eingeschrieben ist. Die Breite b und die Höhe h dieses eingeschriebenen Rechtecks können variiert werden. In der folgenden Abbildung sind einige eingeschriebene Rechtecke dargestellt, wobei auch die beiden Extremfälle b = 0 und h = 0 einbezogen werden: Unter all diesen eingeschriebenen Rechtecken ist jenes gesucht, für das die Tragfähigkeit T des Balkens maximal ist. Aufgrund der obigen Abbildung vermuten wir, dass die Breite dieses Rechtecks in der Nähe von 24 liegt. „„ Um die gesuchte Breite zu berechnen, gehen wir von der gegebenen Formel aus: T(b, h) = c · b · h 2 Der ersten Abbildung auf dieser Seite entnehmen wir die Nebenbedingung: b 2 + h 2 = 48 2 h 2 = 48 2 – b 2 „„ Einsetzen in die Formel für T(b, h) liefert: T(b) = c · b · (2304 – b 2 ) = c · (2304 · b – b 3 ) (0 ª b ª 48) ​ _ T​ (b) = 2304 · b – b 3 „„ Wir ermitteln die globalen Maximumstellen der Funktion ​ _ T​im Intervall [0; 48]: ​ _ T​ ’(b) = 2304 – 3b 2 = 0  É  b 2 = 768  É  b = ​ 9 __ 768​≈ 28 Funktionswerte an den Randstellen des Intervalls [0; 48] und an den Nullstellen von ​ _ T​: ​ _ T​ (0) = 0, ​ _ T​ (​ 9 __ 768​) = 2304 · ​ 9 __ 768​– ​ 9 __ 768​ 3 ​> 0, ​ _ T​ (48) = 0 Somit ist b = ​ 9 __ 768​eine Maximumstelle von ​ _ T​und somit auch von T in [0; 48]. „„ Für h erhält man: h = ​ 9 _____ 4​8​ 2 ​– ​b​ 2 ​ ​= ​ 9 ______ 2304 – 768​≈ 39 Ein Balken der Breite b ≈ 28 cm und der Höhe h ≈ 39 cm hat die größte Tragfähigkeit. 48 b h 48 48 48 48 48 12 24 36 0 T = 0 T = c·25920 T = c·41 472 T = c·36288 T = 0 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv