Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

69 3.8 Extremwertaufgaben Vereinfachen der Zielfunktion durch Weglassen eines konstanten Faktors 3.125 a) Die reellen Funktionen f und _ fseien in A definiert und es gelte _ f (x) = c · f(x) für alle x * A mit c > 0. Zeige: Eine Stelle p * A ist genau dann Maximumstelle von f in A, wenn p Maximumstelle von _ fin A ist. b) Formuliere eine analoge Aussage für eine Minimumstelle und beweise sie! Lösung zu a): p ist Maximumstelle von f in A É f(x) ª f(p) für alle x * A É c · f(x) ª c · f(p) für alle x * A É É _ f (x) ª _ f (p) für alle x * A É p ist Maximumstelle von _ fin A. Aufgrund der letzten Aufgabe sieht man: Die Lösung einer Extremwertaufgabe ändert sich nicht, wenn man in der Zielfunktion einen positiven konstanten Faktor weglässt. Die Rechnung wird aber etwas einfacher. Dies wird in der nächsten Aufgabe illustriert. 3.126 Ein Rechteck vom Umfang 2 dreht sich um eine seiner Seiten. Wie müssen die Seitenlängen des Rechtecks gewählt werden, damit der Mantelflächen inhalt des entstehenden Drehzylinders möglichst groß wird? Lösung: M(x, y) = 2 π x · y º Nebenbedingung: 2x + 2y = 2 y = 1 – x M(x) = 2 π x(1 – x) = 2 π (x – x 2 ) (0 ª x ª 1, weil y = 1 – x º 0 sein muss.) Wir lassen den konstanten Faktor 2 π weg: _ M (x) = x(1 – x) = x – x 2 _ M’(x) = 1 – 2x = 0 x =   1 _ 2 Wegen _ M (0) = _ M (1) = 0 und _ M 2    1 _ 2   3 =   1 _  4 ist x =   1 _ 2 eine globale Maximumstelle von _ Mund somit auch eine globale Maximumstelle von M. Für die zweite Seitenlänge ergibt sich: y = 1 –   1 _  2 =   1 _ 2 Das gesuchte Rechteck ist also ein Quadrat mit der Seitenlänge   1 _ 2 . Aufgaben Vertiefung 3.127 Bei manchen Spiegelteleskopen wird vor den Hohlspiegel eine Korrektur- linse gesetzt, deren Querschnittsfläche auf der einen Seite durch eine Strecke und auf der anderen Seite durch eine Kurve begrenzt wird, die näherungsweise durch die Funktion f mit f(x) = C · x 2 · (x 2 – r 2 ) beschrie- ben wird (siehe nebenstehende Abbildung). Dabei ist C eine positive Kons- tante, die von der Glassorte der Linse und vom Radius des Hohlspiegels abhängt, und r der Radius der Linse. An welchen Stellen ist die Linse am dünnsten? x y M Hohlspiegel Linse 0 –r r Der Spiegel des Herschel-Teleskops hat einen Durchmesser von 3,5m und ist in einer Umlaufbahn des Erde-Sonne-Systems positioniert. Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv