Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

65 3.7 Anwendungen von Funktionsuntersuchungen auf Gleichungen und Ungleichungen Beweis von Ungleichungen 3.99 Beweise, dass für alle x * R gilt: x(1 – x) ª   1 _ 4 Lösung: Zeige selbst, dass die Funktion f mit f(x) = x(1 – x) in 5  – • ;   1 _ 2   5 streng monoton steigend und in 4    1 _ 2 ; •  4 streng monoton fallend ist. Somit gilt f(x) ª f 2    1 _ 2   3 =   1 _ 4 für alle x * R . Aufgaben Vertiefung 3.100 Beweise, dass für alle x * R gilt: a) x 4 – x 2 + 1 > 0 b) x 6 – 2x 3 º –1 c) x 4 – 8x 2 º –16 d) x 2 (x 2 – 1) º –   1 _ 4 e) x 4 º 4x – 3 3.101 Es sei f(x) = 3x(x 2 – 3). Zeige: a) f(x) º – 6 für alle x * R 0   + b) f(x) ª 6 für alle x * R 0   –  3.102 Beweise, dass für alle x * R und alle a * R + die angegebene Ungleichung gilt! a) 4x(x + a) º – a 2 c) x 4 + 4a 3 x + 3a 4 º 0 b) 4x(x – a) º – a 2 d) x 4 – 4a 3 x + 3a 4 º 0 3.103 Beweise, dass für alle x * R 0   + und alle n * N * gilt: a) 4n 2 x 2 º 4nx – 1 b) x n – 1 º n(x – 1) Hinweis zu b): Betrachte zuerst n = 1! Für n º 2 unterscheide gerades und ungerades n! Untersuchen der Lösungsmengen von Ungleichungen 3.104 Es sei f(x) = –   3 _ 4 x 3 +   9 _ 4 x 2 – 5. Für welche c * R ist die Lösungsmenge der Ungleichung f(x) º c ein Intervall? Lösung: Zeige selbst, dass H = (2 1 – 2) ein Hochpunkt und T = (0 1 – 5) ein Tiefpunkt des Graphen von f ist und skizziere den Graphen! Wir betrachten die Parallelen zur ersten Achse mit der Gleichung y = c. Man erkennt: Für c ª –5 sowie für c > –2 ist die Lösungsmenge der Ungleichung f(x) º c ein Intervall. In allen anderen Fällen zerfällt die Lösungsmenge in mehrere Teile. Aufgaben Vertiefung 3.105 Es sei f(x) = x 3 – 3x. Für welche x * R gilt: a) f(x) ª 2 b) f(x) º – 2 c) – 2 ª f(x) ª 2 3.106 (Fortsetzung von 3.104) Es sei f(x) = –   3 _ 4 x 3 +   9 _ 4 x 2 – 5. Für welche x * R gilt: a) f(x) ª – 2 b) f(x) º – 5 c) – 5 ª f(x) ª – 2 3.107 Für welche c * R ist die Lösungsmenge der Ungleichung f(x) º c ein Intervall? a) f(x) = – x 3 + 6x 2 – 9x + 2 b) f(x) = x 3 – 9x 2 + 24x + 4 3.108 Für welche c * R ist die Lösungsmenge der Ungleichung f(x) ª c ein Intervall? a) f(x) = x 3 – 3x 2 + 5 b) f(x) = x 3 – 3x + 3 1 0 f 1 4 1 2 2 5 x 5 10 –5 –5 –2 –10 0 f f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv