Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

64 A C a x x a – x Q 3.7 Anwendungen von Funktionsuntersuchungen auf Gleichungen und Ungleichungen Untersuchen der Lösbarkeit Bei manchen Gleichungen ist man nicht an den Lösungen interessiert, sondern möchte nur wissen, ob eine Lösung überhaupt existiert oder ob es gegebenenfalls mehrere Lösungen gibt. Bei den folgenden Aufgaben sollen allfällige Lösungen nicht angegeben werden, sondern es soll nur entschieden werden, ob Lösungen (eindeutig) existieren oder nicht. 3.90 Zeige: Die Funktion f mit f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c mit a 2 < 3b besitzt höchstens eine Nullstelle. Lösung: Zeige selbst, dass keine Nullstelle von f’ existiert und dass daher f in R streng monoton ist! Die Art der Monotonie kann man durch Berechnung des Werts von f’ an einer konkreten Stelle ermitteln. Aus f’(0) = b > 0 (wegen a 2 < 3b) folgt, dass f in R streng monoton steigend ist. Somit kann es höchstens eine Nullstelle von f geben. Aufgaben Vertiefung 3.91 Zeige, dass die Funktion f keine Nullstelle hat! a) f(x) = x 2 + 2x + 2 c) f(x) = 4x 2 + 8x + 5 b) f(x) = – x 2 – 3x – 4 d) f(x) = – x 2 + 2x – 2 3.92 Zeige, dass die Funktion f höchstens eine Nullstelle hat! a) f(x) = x 3 + x + 10 c) f(x) = x 3 + ax 2 + b (mit a, b > 0) b) f(x) = x 3 + ax + b (mit a, b > 0) d) f(x) = – x 3 + 3x 2 – 9x + 26 3.93 Zeige, dass die folgende Gleichung höchstens eine Lösung hat! a) 2x 3 – 3x 2 – 12x + 24 = 0 c) x 3 + 6x 2 + 12x = – 8 b) x 3 – x 2 + x + 5 = 0 d) x 3 – 3x 2 + 3x = 2 3.94 Zeige, dass die folgende Gleichung keine Lösung hat! a) x 4 – x 3 + 1 = 0 c) x 6 – 2x 3 + 2 = 0 b) 3x 4 – 4x 3 + 6x 2 – 12x + 19 = 0 d) x 10 – 2x 5 + 2 = 0 3.95 Zeige, dass die folgende Gleichung für a > 3 keine Lösung hat! a) x 4 + 4x + a = 0 b) x 4 – 4x + a = 0 3.96 Für welche c * R hat die Gleichung f(x) = c  1) genau eine,  2) genau zwei,  3) genau drei Lösungen? a) f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x + 4 b) f(x) = x 3 – 12x 2 + 36x – 12 3.97 Ein Kegel hat den Radius 3 und die Höhe 5. Der Radius und die Höhe sollen um den gleichen Betrag x verlängert werden, sodass ein Kegel von zehnfachem Volumen entsteht. Begründe, warum diese Aufgabe genau eine Lösung hat! (Die Lösung ist nicht anzugeben.) 3.98 Ein gerades quadratisches Prisma soll mit dem Volumen V = 8m 3 und dem Oberflächeninhalt O = 26m 2 hergestellt werden. Wie groß müssen die Grundkante a und die Höhe h gewählt werden? Begründe, warum diese Aufgabe zwei Lösungen hat! (Die Lösungen sind nicht anzugeben.) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv