Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

60 A C a x x a – x Q 3.6 Aufsuchen von Polynomfunktionen 3.57 Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 hat T = (3 1 1) als Tiefpunkt und die Steigung der Tangente im Punkt P = (0 1 1) beträgt 3. Ermittle eine Termdarstellung dieser Funktion! Lösung: Die gesuchte Termdarstellung hat die Form: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Die Ableitung lautet: f’(x) = 3ax 2 + 2bx + c Zur Bestimmung der Koeffizienten a, b, c, d entnehmen wir dem Text vier Bedingungen: 1. Bedingung: Der Graph geht durch T = (3 1 1), dh. f(3) = 1. w  27a + 9b + 3c + d = 1 2. Bedingung: Der Graph geht durch P = (0 1 1), dh. f(0) = 1. w  d = 1 3. Bedingung: 3 ist lokale Minimumstelle von f und somit f’(3) = 0. w  27a + 6b + c = 0 4. Bedingung: Die Steigung von f an der Stelle 0 ist 3, dh. f’(0) = 3. w  c = 3 Insgesamt erhalten wir somit folgendes Gleichungssystem: ​ {  ​  ​  27a + 9b + 3c + d = 1                            d = 1 ​ ​  27a + 6b +   c       = 0                      c       = 3 ​ ​ ​ Löse dieses Gleichungssystem selbst! Es ergibt sich: a = ​  1 _ 3 ​, b = – 2, c = 3, d = 1 Folglich lautet die Termdarstellung von f: f(x) = ​  1 _ 3 ​ x 3 – 2x 2 + 3x + 1 Führe die Probe selbst durch! Überprüfe dabei, ob alle Bedingungen des Textes erfüllt sind! Aufgaben Grundkompentenzen 3.58 Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 besitzt den Tiefpunkt T = (2 1 – 2). Die Steigung der Tangente an der Stelle 0 beträgt –3. Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f! 3.59 Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 besitzt den Hochpunkt H = (1 1 2). Die Steigung der Tangente an der Stelle 4 beträgt –6. Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f! 3.60 Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 geht durch den Punkt P = (0 1 1) und hat den Tief- punkt T = ​ 2  ​  1 _ 3 ​ ​  1  ​  2 _ 3 ​  ​ ​  3 ​. Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f! 3.61 Die Gerade t: x + y + 4 = 0 ist Tangente an den Graphen von f: x ¦ ax 2 + bx + 1 im Punkt P = (–1 1 –3). Ermittle a und b! 3.62 Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 besitzt den Hochpunkt H = (0 1 2) und den Tiefpunkt T = (4 1 – 30). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f sowie den Wendepunkt des Graphen von f! 3.63 Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 besitzt den Hochpunkt H = (0 1 3) und den Wende- punkt W = (1 1 1). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f! Ermittle weiters den Tiefpunkt des Graphen von f! Zeichne den Graphen! Ó Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv