Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

6 b – a f(a) = s(a) a s f 1 Gleichungen und Polynomfunktionen Grundkompetenzen „„ Wissen, dass eine Gleichung vom Grad n höchstens n Lösungen haben kann. „„ Polynomfunktionen vom Grad n kennen und wissen, dass solche Funktionen höchstens n Nullstellen besitzen können. „„ Einfache Lösungsmethoden für Gleichungen vom Grad 3 bzw. 4 kennen. 1.1 Gleichungen höheren Grades Für Gleichungen der Form ax 2 + bx + c = 0 kennen wir Lösungsformeln. Für Gleichungen der Form ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 oder ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 kennen wir jedoch keine Lösungsformeln. Im Folgenden besprechen wir einige Lösungsmethoden, die bei solchen Gleichungen unter Umständen helfen. Zunächst führen wir einige Bezeichnungen ein: Definition (1) Ein Ausdruck der Form ​ a​ n ​x​ n ​+ ​a​ n – 1 ​x​ n – 1 ​+ … + ​a​ 1 ​x + ​a​ 0 ​ (mit n * N , a n  , a n – 1  , …, a 0 * R und a n ≠ 0) heißt Polynom vom Grad n . (2) Eine Gleichung der Form ​a​ n ​x​ n ​+ ​a​ n – 1 ​x​ n – 1 ​+ … + ​a​ 1 ​x + ​a​ 0 ​= 0 (mit n * N , a n  , a n – 1  , …, a 0 * R und a n ≠ 0) heißt (algebraische) Gleichung vom Grad n . Lösen durch Herausheben 1.01 Löse die Gleichung x 3 – 4x 2 – 5x = 0! Lösung: x 3 – 4x 2 – 5x = 0 x · (x 2 – 4x – 5) = 0 Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Somit muss gelten: x = 0  =  x 2 – 4x – 5 = 0 x = 0  =  x = –1  =  x = 5 (Rechne nach!) 1.02 (Fortsetzung von 1.01) Jemand löst die Gleichung x 3 – 4x 2 – 5x = 0 so: x 3 – 4x 2 – 5x = 0 | : x x 2 – 4x – 5 = 0 x = –1  =  x = 5 Die Lösung x = 0 ist verlorengegangen. Wo liegt der Fehler? Lösung: Durch x darf man nur dividieren, wenn x ≠ 0 ist. Es wurde also stillschweigend x ≠ 0 voraus­ gesetzt und dabei übersehen, dass x = 0 eine Lösung der Gleichung ist. Beachte: Wenn man in einer Gleichung durch die Unbekannte dividiert, können Lösungen verloren gehen. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlag öbv