Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

59 3.5 Vermischte Aufgaben zur Untersuchung von Polynomfunktionen 3.55 Beim Laufen bildet sich infolge der körperlichen Belastung Laktat (Milchsäure) im Blut des Läufers, wodurch die Bewegung immer schwerer wird. Mit steigender Laufgeschwindigkeit v (in km/h) nimmt die Laktatkonzentration (in Millimol/Liter) zwar zunächst etwas ab, nimmt aber von einer bestimmten Laufgeschwindigkeit an schnell zu. Der Körper muss die zum Laufen nötige Energie bereitstellen. Wenn durch die Atmung so viel Sauerstoff aufgenommen wird, wie zur Bewegung benötigt wird, spricht man von aerober Energie­ gewinnung (Energiegewinnung mit Sauerstoff). Wenn jedoch die Belastung zu groß wird und der eingeatmete Sauerstoff nicht mehr ausreicht, muss der Körper die Energie auf andere Art bereit- stellen und man spricht von anaerober Energiegewinnung (Energiegewinnung ohne Sauerstoff). Diejenige Laufgeschwindigkeit, bei der die aerobe in die anaerobe Energiegewinnung übergeht, bezeichnet man als anaerobe Schwelle. In den untenstehenden Diagrammen ist die Abhängigkeit der Laktatkonzentration L(v) von der Laufgeschwindigkeit v für zwei Sportler A und B dargestellt. Die Funktion L: v ¦ L(v) lässt sich in beiden Fällen näherungsweise durch eine Polynomfunktion dritten Grades beschreiben, deren Termdarstellung angegeben ist. 1) Welcher der beiden Sportler befindet sich in einem besseren Trainingszustand? Begründe! 2) Zur Ermittlung der anaeroben Schwelle gibt es verschiedene Methoden. Nach der Methode von Mader wird die anaerobe Schwelle bei einer Laktatkonzentration von 4 Millimol pro Liter erreicht. Nach der Methode von Simon wird die anaerobe Schwelle erreicht, wenn die Ände- rungsrate der Laktatkonzentration den Wert 1 annimmt. Ermittle die anaerobe Schwelle für die beiden Sportler nach beiden Methoden näherungsweise durch Ablesen aus den Graphen! Unterscheiden sich die Ergebnisse? 3) Ermittle die anaerobe Schwelle für beide Sportler nach der Methode von Simon auch durch Rechnung! L(v) = 0,025v 3 – 0,59v 2 + 3,89v – 1,65 L(v) = 0,03v 3 – 0,87v 2 + 7,745v – 17,125 3.56 Gegeben ist die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,01 · (0,5x 3 – 8,25x 2 + 50,375x + 15000) eines Elektrogeräteherstellers. K(x) gibt die Produktionskosten (in 1 000€) an, die bei der Produktion von x Paketen (zu je 1 000 Stück) anfallen. Der Verkaufspreis pro Stück beträgt 22€. 1) Wie hoch ist der Gewinn G(x), wenn x Pakete produziert (und verkauft) werden? 2) Zeichne die Graphen der Funktionen K und G mit Computerhilfe und beschreibe die Verläufe dieser Funktionen in eigenen Worten! 3) Entnimm der Zeichnung, in welchem ungefähren Bereich die Produktionsmenge liegen muss, damit der Gewinn positiv ist! 4) Berechne, bei welcher Produktionsmenge der Gewinn am größten ist! 5) Die Änderungsrate K’(x) bezeichnet man als Grenzkosten bei der Produktionsmenge x. Die Produktionsmenge, für die die Grenzkosten am niedrigsten sind, nennt man Kostenkehre . Berechne die Kostenkehre der gegebenen Kostenfunktion! 6) Um welche besondere Stelle des Graphen von K handelt es sich bei der Kostenkehre? Erkläre, inwiefern der ökonomische Fachausdruck „Kostenkehre“ gerechtfertigt ist! 2 4 6 8 10 12 14 16 18 v 2 4 6 8 10 0 Sportler A L(v) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 v 2 4 6 8 10 0 Sportler B L(v) Ó Ó  Lernapplet n266mi Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv