Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

58 3 Untersuchen von Polynomfunktionen 3.46 Kreuze an, was unter den angegebenen Bedingungen gelten muss! f(0) = 0 f(0) ≠ 0 f’(0) = 0 f’(0) ≠ 0 f’’(0) = 0 f’’(0) ≠ 0 0 ist lokale Extremstelle von f.       0 ist globale Extremstelle von f.       0 ist Sattelstelle von f.       0 ist Wendestelle von f.       0 ist Nullstelle von f.       (0 1 5) ist Wendepunkt.       (0 1 –1) ist Sattelpunkt.       (0 1 0) ist Tiefpunkt.       f ist symmetrisch bezüglich der 2. Achse.       3.47 Ein Teilstück einer Straße lässt sich näherungsweise durch f(x) = 0,0001 · (x 3 – 450x 2 + 45000x) mit 0 ª x ª 300 beschreiben (Angaben in Meter). Eine Autofahrerin durchfährt dieses Teilstück vom Punkt (0 1 f(0)) bis zum Punkt (300 1 f(300)). 1) Skizziere den Graphen von f! 2) In welchem Bereich muss die Lenkerin das Lenkrad nach links, in welchem nach rechts einschlagen? 3) Um wie viel Grad ändert sie beim Rechtseinschlag insgesamt ihre Richtung, um wie viel Grad insgesamt beim Linkseinschlag? Aufgaben Vertiefung 3.48 Zeige, dass die einzige Wendestelle der Funktion f mit f(x) = a(x – α 1 )(x – α 2 )(x – α 3 ) mit a ≠ 0 das arithmetische Mittel der drei Nullstellen von f ist! 3.49 1) Zeige: Der Graph einer Funktion f mit f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (mit a ≠ 0) hat genau einen Wendepunkt. 2) Welche Beziehung muss zwischen den Koeffizienten a, b, c und d bestehen, damit dieser Wendepunkt ein Sattelpunkt ist? 3.50 Welche Beziehung muss zwischen den Koeffizienten bestehen, damit der Graph der Funktion f mit f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e (mit a ≠ 0)  1) genau zwei Wendepunkte,  2) genau einen Wendepunkt,  3) keinen Wendepunkt besitzt? 3.51 Zeige: Der Graph der Funktion f mit f(x) = ​  3 _  10 ​x 5 – 8x 3 + 10x + 1 hat genau drei Wendepunkte. 3.52 Zeige, dass die Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit f(x) = 3x 5 – 10x 3 + 7 auf einer Geraden liegen! 3.53 1) Zeige: Die Graphen aller Funktionen f k mit f k (x) = – x 3 + k · x 2 + (k – 1) · x (mit k * R ) schneiden einander in den gleichen zwei Punkten. Gib diese Punkte an! 2) Für welche Werte von k hat f k ’ genau eine Nullstelle? Ist diese Stelle eine lokale Extremstelle oder eine Sattelstelle von f k ? Hinweis zu 1): Berechne die Schnittpunkte der Graphen zweier beliebiger Funktionen ​f​ ​k​ 1 ​ ​und ​f​ ​k​ 2 ​ mit k 1 ≠ k 2 ! 3.54 Gegeben sind die Funktionen f t mit f t (x) = x 3 – t · x 2 – (t + 1) · x (t * R ). Zeige: Für alle t * R besitzt f t eine lokale Maximumstelle und eine lokale Minimumstelle. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv