Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

55 3.4 Untersuchen von Polynomfunktionen mit Hilfe höherer Ableitungen Typische Formen der Graphen von Polynomfunktionen 3.35 Beweise: (1) Eine Polynomfunktion vom Grad n º 1 hat höchstens n – 1 lokale Extremstellen. (2) Eine Polynomfunktion vom Grad n º 2 hat höchstens n – 2 Wendestellen. Lösung: f(x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0  (a n ≠ 0) f’(x) = na n x n – 1 + (n – 1)a n – 1 x n – 2 + … + 2a 2 x + a 1 f’’(x) = n(n – 1)a n x n – 2 + (n – 1)(n – 2)a n – 1 x n – 3 + … + 2a 2 Da f’ vom Grad n – 1 und f’’ vom Grad n – 2 ist, hat f’ höchstens n – 1 und f’’ höchstens n – 2 Nullstellen. Somit hat f höchstens n – 1 lokale Extremstellen und höchstens n – 2 Wendestellen. Die Ergebnisse der letzten Aufgabe und die vorangegangenen Überlegungen zur Symmetrie lassen einige Aussagen über typische Formen der Graphen von Polynomfunktionen zu: Polynomfunktionen vom Grad 2: Abb. 3.6a Abb. 3.6b Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 2 hat stets die Form einer Parabel (Abb. 3.6a, b). Polynomfunktionen vom Grad 3: Abb. 3.7a   Abb. 3.7b Abb. 3.7c  Abb. 3.7d Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 hat im Allgemeinen die Form einer „S-Kurve“ (Abb. 3.7a, b), wobei „Entartungen“ auftreten können (Abb. 3.7c, d). Polynomfunktionen vom Grad 4: Abb. 3.8a Abb. 3.8b Abb. 3.8 c Abb. 3.8d   Abb. 3.8e  Abb. 3.8 f Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 4 hat im Allgemeinen die Form einer „Doppel-S-Kurve“ (Abb. 3.8a, b), wobei ebenfalls „Entartungen“ auftreten können (Abb. 3.8 c, d, e, f). Ó Ó  Lernapplet 3f7jm2 Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv