Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

54 3 Untersuchen von Polynomfunktionen Wir erinnern uns (vgl. Mathematik verstehen 6, Seite 46): Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt º gerade , wenn für alle x * A gilt:   f(– x) = f(x) º ungerade , wenn für alle x * A gilt: f(– x) = – f(x) Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch bezüglich der 2. Achse, der Graph einer ungeraden Funktion symmetrisch bezüglich des Ursprungs. Aufgaben Grundkompetenzen 3.30 Begründe: Treten bei einer Polynomfunktion im Funktionsterm f(x) nur Potenzen von x mit gerader Hochzahl auf, dann ist der Graph von f symmetrisch bezüglich der zweiten Achse. 3.31 Zeige: Eine Polynomfunktion vom Grad 3, deren Graph symmetrisch bezüglich des Ursprungs ist, muss von der Form f(x) = ax 3 + cx mit a ≠ 0 sein. ( Beachte: Der Ursprung ist ein Wendepunkt.) 3.32 Der Graph einer Polynomfunktion sei symmetrisch  a) bezüglich der Geraden x = p, b) bezüglich des Punktes (p 1 f(p)). Was lässt sich dann über den Punkt (p 1 f(p)) aussagen? Verhalten einer Funktion für x gegen ± • Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Man schreibt „„ ​lim   x ¥• ​ f(x) = q, wenn sich f(x) mit unbegrenzt wachsendem x unbegrenzt der Zahl q nähert, „„ ​lim   x ¥• ​ f(x) = • , wenn f(x) mit unbegrenzt wachsendem x jede noch so große Schranke überschreitet, „„ ​lim   x ¥• ​ f(x) = – • , wenn f(x) mit unbegrenzt wachsendem x jede noch so kleine Schranke unterschreitet. In analoger Weise sind die Symbole ​ lim     x ¥ – • ​ f(x) = a, ​ lim     x ¥ – • ​ f(x) = • und ​ lim     x ¥ – • ​ f(x) = – • definiert. 3.33 Sei f eine Polynomfunktion der Form f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d mit a ≠ 0. Begründe: (1) Für a > 0 gilt: ​lim    x ¥• ​ f(x) = • und ​ lim     x ¥ – • ​ f(x) = – • (2) Für a < 0 gilt: ​lim    x ¥• ​ f(x) = – • und ​ lim     x ¥ – • ​ f(x) = • Lösung: (1) ax 3 + bx 2 + cx + d = x 3  ​ 2  a + ​  b _  x ​+ ​  c _  ​x​ 2 ​  ​+ ​  d _  ​x​ 3 ​ ​  3 ​. Wenn x unbegrenzt wächst, nähert sich der Klammerausdruck unbegrenzt der Zahl a und x 3 überschreitet jede noch so große Schranke. Somit überschreitet auch f(x) jede noch so große Schranke. (2) Führe den Beweis selbst!  Aufgaben Grundkompetenzen 3.34 Sei f eine Polynomfunktion der Form f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e mit a ≠ 0. Begründe: (1) Für a > 0 gilt: ​lim    x ¥• ​ f(x) = ​ lim     x ¥ – • ​ f(x) = • (2) Für a < 0 gilt: ​lim  x ¥• ​ f(x) = ​ lim     x ¥ – • ​ f(x) = – • Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv