Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

53 3.4 Untersuchen von Polynomfunktionen mit Hilfe höherer Ableitungen 3.27 Ermittle die Wendestellen der Funktion f mit f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x – 4! Gib außerdem die Koordinaten der Wendepunkte sowie Gleichungen der Wendetangenten an! Lösung: „„ Ableitungen von f: f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x – 4 f’(x) = 3x 2 – 12x + 9 f’’(x) = 6x – 12 f’’’(x) = 6 „„ Aufgrund der notwendigen Bedingung für Wendestellen kommen als Wendestellen von f nur die Nullstellen von f’’ in Frage. Wir ermitteln diese daher: f’’(x) = 0  É  6x – 12 = 0  É  x = 2 Mit der hinreichenden Bedingung für Wendestellen ergibt sich: f’’(2) = 0  ?  f’’’(2) = 6 ≠ 0  w  2 ist Wendestelle von f „„ Wendepunkt: W = (2 1 f(2)) = (2 1 – 2) „„ Steigung der Wendetangente: k = f’(2) = – 3 Ein Richtungsvektor der Wendetangente ist (1 1 k), ein Normalvektor somit (– k 1 1) = (3 1 1). Damit ergibt sich die folgende Gleichung der Wendetangente: t: 3x + y = 3 · 2 + 1 · (– 2)  w  t: 3x + y = 4 Aufgaben Grundkompetenzen 3.28 Ermittle die Krümmungsbereiche und Wendestellen der Funktion f und gib die Koordinaten der Wendepunkte sowie Gleichungen der Wendetangenten an! a) f(x) = x 3 – x 2 + 2 g) f(x) = (x – 3)(x + 2)(x – 4) b) f(x) = x 3 – 4x + 4 h) f(x) = x 4 + x 3 c) f(x) = x 3 – x 2 + x + 1 i) f(x) = 3x 3 – 9x 2 + 2x – 1 d) f(x) = (x – 6)(x + 3)(x – 3) j) f(x) = x 3 – 6x 2 + 8x + 7 e) f(x) = – 2x 3 + 3x 2 k) f(x) = x 4 + 4x 3 – 18x 2 + 12x f) f(x) = x 3 – x + 1 l) f(x) = x 4 + 3x 3 + 3x 2 – x – 5 Symmetrie von Polynomfunktionen 3.29 Zeige und überprüfe am Graphen! a) Der Graph der Funktion f mit f(x) = ​  1 _ 2 ​x 4 + x 2 ist symmetrisch bezüglich der 2. Achse. b) Der Graph der Funktion f mit f(x) = x 3 – 3x ist symmetrisch bezüglich des Ursprungs. Lösung: a) f(– x) = ​  1 _ 2 ​ (– x) 4 + (– x) 2 = ​  1 _ 2 ​x 4 + x 2 = f(x) b) f(– x) = (– x) 3 – 3(– x) = – x 3 + 3x = – f(x) Ó Ó i7n3t9 0 1 –1 –2 2 f(x) 1 2 3 4 x f 0 1 –1 –2 2 f(x) 2 x f –1 –2 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv