Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

52 3 Untersuchen von Polynomfunktionen Wendestellen Stellen, an denen eine Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert, haben einen eigenen Namen: Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt Wendestelle von f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungs- verhalten von f ändert. Der Punkt (p 1 f(p)) heißt Wendepunkt des Graphen von f, die Tangente an den Graphen in diesem Punkt heißt Wendetangente . In einem Wendepunkt berührt der Graph der Funktion f die Wendetangente und wechselt auf die andere Seite der Tangente (siehe obige Abbildung). Daher ist es beim Zeichnen des Graphen nützlich, die Wendetangente einzuzeichnen. Da eine Funktion f an einer Wendestelle p das Krümmungsverhalten ändert, ändert f’’ an der Stelle p das Vorzeichen und somit muss f’’(p) = 0 sein. Es gilt also: Satz Notwendige Bedingung für Wendestellen: Für eine Polynomfunktion f gilt: p ist eine Wendestelle von f  w  f’’(p) = 0 Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Die Bedingung f’’(p) = 0 ist nicht hinreichend dafür, dass p eine Wendestelle von f ist. Gegenbeispiel: f(x) = x 4 (siehe nebenstehende Abbildung). Es ist f’’(x) = 12x 2 und somit f’’(0) = 0, aber 0 ist keine Wendestelle von f . Die Bedingung f’’(p) = 0 ist also für das Vorliegen einer Wendestelle p von f zwar notwendig, aber nicht hinreichend. Man erhält jedoch eine hinreichende Bedingung, wenn man neben f’’(p) = 0 noch eine zusätzliche Voraussetzung verlangt. Satz Hinreichende Bedingung für Wendestellen: Ist f: A ¥ R eine Polynomfunktion, I a A ein Intervall und p eine innere Stelle von I, dann gilt: f’’(p) = 0  ?  f’’’(p) ≠ 0 w  p ist Wendestelle von f Beweis: f’’(p) = 0  ?  f’’’(p) ≠ 0  w  (f’)’(p) = 0  ?  (f’)’’(p) ≠ 0  w  p ist lokale Extremstelle von f’  w w  f’ ändert an der Stelle p das (strenge) Monotonieverhalten  w w  f ändert an der Stelle p das Krümmungsverhalten  w w  p ist Wendestelle von f  f Wendetangente Wendepunkt Wendestelle p f(p) 0 1 –1 x f(x) 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv