Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

51 3.4 Untersuchen von Polynomfunktionen mit Hilfe höherer Ableitungen Eine weitere hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen Wir wissen bereits: Für das Vorliegen einer lokalen Extremstelle p von f ist die Bedingung f’(p) = 0 zwar notwendig, aber nicht hinreichend. Man erhält jedoch eine hinreichende Bedingung, wenn man neben f’(p) = 0 eine zusätzliche Voraussetzung verlangt. Wir betrachten dazu die folgenden beiden Abbildungen: Aufgrund dieser Abbildungen kann man vermuten: „„ Ist f’(p) = 0 und f’’(x) < 0 für alle x * I (dh. f rechtsgekrümmt in I), dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. „„ Ist f’(p) = 0 und f’’(x) > 0 für alle x * I (dh. f linksgekrümmt in I), dann ist p eine lokale Minimumstelle von f. Man kann sogar mehr beweisen. Es muss nicht verlangt werden, dass die Zusatzvoraussetzung f’’(x) < 0 bzw. f’’(x) > 0 im ganzen Intervall I gilt. Es genügt, dass diese Voraussetzung an der Stelle p erfüllt ist. Es gilt nämlich der folgende Satz, den wir ohne Beweis anführen: Satz Hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen: Ist f: A ¥ R eine Polynomfunktion, I a A ein Intervall und p eine innere Stelle von I, dann gilt: (1) f’(p) = 0  ?  f’’(p) < 0 w p ist lokale Maximumstelle von f (2) f’(p) = 0  ?  f’’(p) > 0 w p ist lokale Minimumstelle von f 3.25 Ermittle mit Hilfe des eben angeführten Satzes die lokalen Extremstellen der Funktion f mit f(x) = x 3 + 3x 2 – 4! Lösung: f(x) = x 3 + 3x 2 – 4 f’(x) = 3x 2 + 6x = 0  É  x = –2  =  x = 0 f’’(x) = 6x + 6 Mit dem obigen Satz ergibt sich: f’(– 2) = 0  ?  f’’(– 2) = – 6 < 0  w  – 2 ist lokale Maximumstelle von f. f’(0) = 0  ?  f’’(0) = 6 > 0  w  0 ist lokale Minimumstelle von f. Aufgaben Grundkompetenzen 3.26 Ermittle mit Hilfe des obigen Satzes die lokalen Extremstellen der Funktion f! a) f(x) = ​  1 _ 3 ​x 2 – 2x + 3 d) f(x) = x 4 – x 2 g) f(x) = x 4 + x 2 b) f(x) = – ​  1 _ 8 ​x 2 + x – 2 e) f(x) = x 3 – 3x 2 – 9x + 11 h) f(x) = 2x 3 – 6x + 2 c) f(x) = x 3 – 27x f) f(x) = x 4 – 2x 2 + 1 i) f(x) = x 5 – 5x f f(x) p x l x p f l f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv