Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

50 3 Untersuchen von Polynomfunktionen Um die Art der Krümmung in einem Krümmungsintervall I festzustellen, genügt es, das Vorzeichen von f’’ an einer beliebigen inneren Stelle p * I zu ermitteln, denn f’’ besitzt ja an allen inneren Stellen von I dasselbe Vorzeichen. Man kann dann schließen: º f’’(p) > 0  w  f ist linksgekrümmt in I º f’’(p) < 0  w  f ist rechtsgekrümmt in I 3.21 Nebenstehend ist eine Straße in einem Ortskoordinatensystem dargestellt. Die Form der Straße lässt sich ungefähr durch den Graphen der Funktion f mit f(x) = ​  1 _  ​10​ 4 ​ ​· (x 3 – 300x 2 + 22500x) (0 ª x ª 200) beschreiben (x und f(x) in Meter). Ein Autofahrer durchfährt die Straße von O nach Q. Auf welchem Streckenabschnitt muss er das Lenkrad nach rechts einschlagen, auf welchem nach links? In welchem Punkt der Straße muss er vom Rechtseinschlag zum Linkseinschlag wechseln? Lösung: „„ Erste und zweite Ableitung von f: f(x) = ​  1 _  ​10​ 4 ​ ​· (x 3 – 300x 2 + 22500x) f’(x) = ​  1 _  ​10​ 4 ​ ​· (3x 2 – 600x + 22500) f’’(x) = ​  1 _  ​10​ 4 ​ ​· (6x – 600) „„ Nullstellen von f’’: f’’(x) = 0  É  x = 100 „„ Krümmungsintervalle: [0; 100] und [100; 200] Wir berechnen f’’ in diesen Intervallen jeweils an einer inneren Stelle, etwa: f’’(50) = ​  1 _  ​10​ 4 ​ ​· (6 · 50 – 600) < 0 und f’’(150) = ​  1 _  ​10​ 4 ​ ​· (6 · 150 – 600) > 0. Daraus folgt: f ist in [0; 100] rechtsgekrümmt und in [100; 200] linksgekrümmt. Der Autofahrer muss also von O = (0 1 0) bis P = (100 1 25) das Lenkrad nach rechts einschlagen und von P = (100 1 25) bis Q = (200 1 50) nach links einschlagen. Im Punkt P muss er vom Rechts­ einschlag zum Linkseinschlag wechseln. Aufgaben Grundkompetenzen 3.22 Zeige, dass die Funktion f einheitlich gekrümmt ist und gib die Art der Krümmung an! a) f(x) = – 3x 2 + 12x – 9 c) f(x) = x(x – 1) e) f(x) = 2x 2 – 4 b) f(x) = x 2 – x + 1 d) f(x) = (x – 2)(x + 2) f) f(x) = – (x – 2)(x + 1) 3.23 Ermittle die Krümmungsbereiche der Funktion f und gib jeweils die Art der Krümmung an! a) f(x) = 3x 3 + 6x c) f(x) = 2x 3 – 12x 2 + 27x + 26 e) f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x – 4 b) f(x) = x 3 – 9x 2 + 24x – 18 d) f(x) = x 3 – 9x 2 + 3x – 3 f) f(x) = x 3 + 6x 2 + 18x – 20 3.24 Aus einem Würfel der Kantenlänge 1 wird eine quadratische Pyramide wie in der Abbildung herausgeschnitten (0 ª x ª 1). 1) Stelle eine Formel für das Volumen V(x) des Restkörpers auf! 2) Skizziere den Graphen der Funktion V: [0; 1] ¥ R ‡ x ¦ V(x)! 3) Was lässt sich über die Krümmung von V aussagen? 4) Nimmt V mit wachsendem x immer schneller oder immer langsamer ab? 50 100 150 200 x f(x) 50 100 0 P Q Ó x x x 1 1 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv