Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

49 A C a x x a – x Q 3.4 Untersuchen von Polynomfunktionen mit Hilfe höherer Ableitungen Krümmung Man sagt: Die Funktion f in Abb. 3.5a ist im Intervall I linksgekrümmt und die Funktion f in Abb. 3.5b ist im Intervall I rechtsgekrümmt . Man stelle sich etwa vor, dass der Graph von f eine Straße darstellt und dass ein Autofahrer diese Straße von links nach rechts durchfährt. In Abb. 3.5a muss er das Lenkrad nach links einschlagen, in Abb. 3.5b nach rechts. Abb 3.5a Abb 3.5b In Abb. 3.5a nimmt die Steigung von f mit wachsendem x zu (sie ist zuerst negativ, dann null, dann positiv). In Abb. 3.5b nimmt die Steigung von f mit wachsendem x ab (sie ist zuerst positiv, dann null, dann negativ). Mit anderen Worten: In Abb. 3.5a ist f’ streng monoton steigend, in Abb. 3.5b streng monoton fallend. Dies führt uns zu folgender Definition: Definition Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion, f’: A ¥ R ihre Ableitung und I a A ein Intervall. Die Funktion f heißt „„ linksgekrümmt in I , wenn f’ streng monoton steigend in I ist, „„ rechtsgekrümmt in I , wenn f’ streng monoton fallend in I ist, „„ einheitlich gekrümmt in I , wenn f in I entweder linksgekrümmt oder rechtsgekrümmt ist. Die Art der Krümmung kann man mit Hilfe des folgenden Satzes feststellen: Satz Krümmungssatz: Ist f: A ¥ R eine Polynomfunktion und I a A ein Intervall, dann gilt: (1) f’’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I  w  f linksgekrümmt in I (2) f’’(x) < 0 für alle inneren Stellen x * I  w  f rechtsgekrümmt in I Beweis: (1) Nach dem Monotoniesatz gilt: f’’(x) = (f’)’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I  w  f’ ist streng monoton steigend in I  w w  f in I linksgekrümmt (2) Kann analog bewiesen werden.  Durch die Nullstellen von f’’ wird der Definitionsbereich von f in die Krümmungsintervalle (Krümmungsbereiche) zerlegt. Im Inneren jedes dieser Intervalle besitzt f’’ ein einheitliches Vor- zeichen. (Denn würde f’’ im Inneren eines solchen Intervalls das Vorzeichen ändern, dann müsste im Inneren dieses Intervalls eine weitere Nullstelle von f’’ liegen.) Nach dem Krümmungssatz ist somit f in einem Krümmungsintervall einheitlich gekrümmt. f l f l Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv