Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

48 3 Untersuchen von Polynomfunktionen Extremstellen von Polynomfunktionen in abgeschlossenen Intervallen 3.16 Ermittle die Monotoniebereiche sowie die Extremstellen der Funktion f mit f(x) = ​  1 _  4 ​ (x 3 – 6x 2 + 9x – 8) im Intervall [0; 5]! Skizziere den Graphen von f! Lösung: „„ Nullstellen der Ableitung: f(x) = ​  1 _ 4 ​(x 3 – 6x 2 + 9x – 8) f’(x) = ​  1 _ 4 ​(3x 2 – 12x + 9) = ​  3 _ 4 ​(x 2 – 4x + 3) = 0  É  x = 1  =  x = 3 „„ Durch die Nullstellen von f’ wird das Intervall [0; 5] in folgende Monotonieintervalle zerlegt: [0; 1], [1; 3], [3; 5]. Aus f(0) = – 2, f(1) = –1, f(3) = – 2 und f(5) = 3 ergibt sich: f ist in [0; 1] streng monoton steigend, in [1; 3] streng monoton fallend und in [3; 5] streng monoton steigend. „„ Als (globale) Extremstellen von f im Intervall [0; 5] kommen nur die Randstellen 0 und 5 des Intervalls [0; 5] und die Nullstellen 1 und 3 von f’ in Frage (denn innerhalb der Monotonie­ intervalle ist f jeweils streng monoton). Aufgrund der Funktionswerte an diesen Stellen erkennt man: 5 ist globale Maximumstelle von f in [0; 5], 0 und 3 sind globale Minimumstellen von f in [0; 5]. Beachte: Als globale Extremstellen einer Polynomfunktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] kommen nur die Nullstellen von f’ sowie die Randstellen a und b des Intervalls in Frage, wobei f’(a) und f’(b) nicht unbedingt null sein müssen. Aufgaben Grundkompetenzen 3.17 Ermittle die Monotoniebereiche sowie die Extremstellen der Funktion f im angegebenen Intervall! Skizziere den Graphen von f! a) f(x) = (x – 1) 2 , [–1; 3] c) f(x) = x 2 + 1, [– 2; 2] e) f(x) = – x(x – 2), [– 2; 1] b) f(x) = – x 2 – 4x + 4, [0; 4] d) f(x) = 4x 2 + 4x + 1, [0; 3] f) f(x) = x 2 + 6x + 9, [– 3; –1] 3.18 Ermittle die Monotoniebereiche sowie die Extremstellen der Funktion f im angegebenen Intervall! Gib allenfalls Hoch- und Tiefpunkte an! Skizziere den Graphen von f! a) f(x) = x 3 – 12x 2 + 45x – 53, [1; 6] c) f(x) = x 3 – 3x 2 + 3x + 12, [– 2; 2] b) f(x) = x 2  (x – 3), [–1; 3] d) f(x) = ​  1 _  2 ​ (x 3 + 3x 2 – 9x – 2), [– 5; 3] 3.19 Ermittle die Stellen im angegebenen Intervall, an denen die Funktion f den kleinsten bzw. größten Wert annimmt! Skizziere den Graphen von f! a) f(x) = 1 – ​  2 _  5  ​x, [–10; 7] c) f(x) = – ​  1 _ 3 ​x 3 + x 2 – ​  4 _ 3 ​, [–1; 3] b) f(x) = – ​  1 _ 4 ​x 2 + ​  5 _ 2 ​x – ​  9 _ 4 ​ , [2; 8] d) f(x) = – ​  1 _ 8 ​x 3 + ​  3 _ 2 ​x 2 – 6x + 7, [0; 8] 3.20 Ein Körper bewege sich im Zeitintervall [6; 16] gemäß der Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = – 0,01t 3 + 0,24t 2 + 6 (t in Minuten, s(t) in Meter). 1) Zeichne den Graphen der Funktion s im angegebenen Zeitintervall! 2) Zu welchen Zeitpunkten beträgt die Geschwindigkeit des Körpers 1,8m/min? 3) Wie groß ist die Geschwindigkeit zu Beginn und am Ende des angegebenen Zeitintervalls? 4) Zu welchem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit am kleinsten, zu welchem am größten? 5) In welchen Zeitintervallen nimmt die Geschwindigkeit zu, in welchen ab? Ó 0 1 2 3 4 5 x f(x) 1 2 3 –1 –2 f Ó Ó Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv