Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

47 3.3 Untersuchen von Polynomfunktionen mit Hilfe der ersten Ableitung Terrassenstellen 3.13 Ermittle die Monotoniebereiche und lokalen Extremstellen der Funktion f mit f(x) = ​  1 _ 9 ​ (– x 4 + 8x 3 – 18x 2 + 36) und skizziere den Graphen dieser Funktion! Lösung: „„ Nullstellen der Ableitung: f(x) = ​  1 _ 9 ​ (– x 4 + 8x 3 – 18x 2 + 36) f’(x) = ​  1 _  9 ​ (– 4x 3 + 24x 2 – 36x) = – ​  4 _  9 ​x(x 2 – 6x + 9) = – ​  4 _ 9 ​x(x – 3) 2 f’(x) = 0  É  x = 0  =  x = 3 „„ Monotonieintervalle: ]– • ; 0], [0; 3], [3; • [ Aus f(–1) = 1, f(0) = 4, f(3) = 1 und f(4) = ​  4 _ 9 ​ergibt sich: f ist in ]– • ; 0] streng monoton steigend, in [0; 3] streng monoton fallend und in [3; • [ streng monoton fallend. „„ Da f an der Stelle 0 das Monotonieverhalten ändert, ist 0 eine lokale Extremstelle von f und zwar eine lokale Maximumstelle von f, da f links von 0 monoton steigend und rechts von 0 monoton fallend ist. „„ Da f an der Stelle 3 das Monotonieverhalten nicht ändert, ist 3 keine lokale Extremstelle von f. Definition Eine Stelle p mit f’(p) = 0, an der sich das strenge Monotonieverhalten einer Polynomfunktion nicht ändert, heißt Terrassenstelle von f oder Sattelstelle von f . Der zugehörige Punkt auf dem Graphen von f heißt Terrassenpunkt oder Sattelpunkt des Graphen . In der Aufgabe 3.13 ist 3 eine Terrassenstelle von f und (3 1 1) ein Terrassenpunkt. Aufgaben Grundkompetenzen 3.14 Ermittle die Monotoniebereiche, die lokalen Extremstellen sowie die Terrassenstellen der Funktion f und skizziere den Graphen dieser Funktion! a) f(x) = – 2x 3 + 1 d) f(x) = 3x 4 – 8x 3 + 16 b) f(x) = x 3 – 9x 2 + 27x + 6 e) f(x) = ​  1 _ 4 ​x 4 + ​  4 _ 3 ​x 3 + 2x 2 c) f(x) = 0,5(x 3 + 3x 2 + 3x + 2) f) f(x) = – x 4 + 4x 3 – 4 3.15 Kreuze an, welche Aussagen auf die abgebildete Funktion f zutreffen! trifft zu trifft nicht zu 0 ist eine lokale Extremstelle.   2 ist ein Terrassenpunkt.   4 ist ein Hochpunkt.   2 ist eine lokale Extremstelle.   1 ist eine Nullstelle.   In [0; 2] ist f streng monoton.   In [0; 4] ist f nicht streng monoton.   (2 1 1) ist ein Sattelpunkt.   (0 1 –2) ist lokale Minimumstelle.   f’(0) = f’(2)   0 1 2 3 4 x f(x) 1 2 3 4 f Ó 0 1 –1 2 3 4 5 f(x) 1 2 3 4 –1 –2 x f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv