Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

46 3 Untersuchen von Polynomfunktionen Wir fassen zusammen: Ermittlung der Monotoniebereiche und lokalen Extremstellen einer Polynomfunktion Der Graph einer Polynomfunktion f kann rasch auf folgende Weise skizziert werden: „„ Man bestimmt die Nullstellen x 1  , x 2  , …, x k von f’. Durch diese wird die Definitionsmenge von f in die Monotonieintervalle zerlegt. In diesen Intervallen ist f entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend (denn andernfalls müsste im Inneren eines solchen Intervalls eine weitere Nullstelle von f’ liegen). „„ Man berechnet die Funktionswerte an den Stellen x 1  , x 2  , …, x k  . Daraus erkennt man das Monotonieverhalten in den Intervallen [x 1  , x 2 ], [x 2  , x 3 ], …, [x k – 1  , x k ]. „„ Um das Monotonieverhalten in den Intervallen ]– • , x 1  ] bzw. [x k  , • [ zu ermitteln, berechnet man jeweils einen weiteren Funktionswert an einer beliebigen Stelle aus dem Inneren dieser beiden Intervalle. „„ Man skizziert den Graphen von f und beachtet dabei, dass an den Stellen x 1  , x 2  , …, x k die Tangenten an den Graphen zur ersten Achse parallel sind. Aufgaben Grundkompetenzen 3.10 Ermittle die Monotonieintervalle und lokalen Extremstellen der Funktion f und skizziere den Graphen dieser Funktion! a) f(x) = x 2 + x – 6 d) f(x) = – x 2 + 2x g) f(x) = (x – 2)(x + 4) b) f(x) = x 2 – 5x + 6 e) f(x) = 4x – x 2 h) f(x) = (x + 1)(x + 4) c) f(x) = – x 2 – x + 6 f) f(x) = x 2 + 4x + 4 i) f(x) = (x + 7)(x + 1) 3.11 Ermittle die Monotoniebereiche und lokalen Extremstellen der Funktion f und skizziere den Graphen dieser Funktion! a) f(x) = 2x 3 – 3x 2 – 12x + 1 d) f(x) = x – x 3 g) f(x) = x(x 2 – 3) + 1 b) f(x) = x 3 + 3x 2 + 3x e) f(x) = x 3 – x 2 h) f(x) = x(x 2 + x) c) f(x) = x 3 – 3x 2 + 5 f) f(x) = – x(x 2 + x) – 1 i) f(x) = – (x 2 + 2x + 1)x 3.12 Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion f und skizziere deren Graphen! a) f(x) = x 5 – x 4 b) f(x) = x 5 – 5x c) f(x) = 0,05x 5 – x 2 d) f(x) = 0,05x 6 – 0,3x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Ó Ó Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv