Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

45 A C a x x a – x Q 3.3 Untersuchen von Polynomfunktionen mit Hilfe der ersten Ableitung 3.09 Ermittle die Monotoniebereiche und lokalen Extremstellen der Funktion f mit f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x – 2 und skizziere den Graphen dieser Funktion! Lösung: „„ Wir berechnen zuerst die Ableitung von f: f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x – 2 f’(x) = 3x 2 – 12x + 9 „„ Da an einer lokalen Extremstelle die Ableitung von f notwendigerweise null ist, kommen als lokale Extremstellen nur die Nullstellen von f’ in Frage. Wir bestimmen diese daher: f’(x) = 0  É  3x 2 – 12x + 9 = 0  É  x = 1  =  x = 3 (Rechne nach!) „„ Durch die Nullstellen von f’ wird der Definitionsbereich von f in die Intervalle ]– • ; 1], [1; 3] und [3; • [ zerlegt (Abb. 3.4a). In diesen Intervallen ist f jeweils streng monoton. (Denn würde f im Inneren eines solchen Intervalls das Monotonieverhalten ändern, dann müsste im Inneren dieses Intervalls eine lokale Extremstelle von f und somit eine weitere Nullstelle von f’ liegen.) „„ Um die Art der Monotonie festzustellen, berechnen wir die Funktionswerte an den Stellen 1 und 3 sowie an einer Stelle links von 1 und einer rechts von 3, etwa: f(0) = – 2, f(1) = 2, f(3) = – 2, f(4) = 2 Wir tragen die zugehörigen Punkte ein und sehen, dass f in ]– • ; 1] nur streng monoton steigend, in [1; 3] nur streng monoton fallend und in [3; • [ nur streng monoton steigend sein kann (Abb. 3.4b). „„ An den Stellen 1 und 3 ändert die Funktion ihr Monotonieverhalten. Da f links von 1 streng monoton steigend und rechts von 1 streng monoton fallend ist, ist 1 eine lokale Maximum­ stelle von f. Da f links von 3 streng monoton fallend und rechts von 3 streng monoton steigend ist, ist 3 eine lokale Minimumstelle von f. Wir zeichnen im Hoch- bzw. Tiefpunkt kurze Tangentenstücke parallel zur ersten Achse ein und können jetzt den Graphen von f grob skizzieren (Abb. 3.4 c). Wer ein genaueres Bild des Graphen haben möchte, kann weitere Punkte berechnen oder sich den Graphen anhand einer Computerdarstellung ansehen. Abb. 3.4a Abb. 3.4b Abb. 3.4 c 0 1 2 3 4 f(x) 1 2 3 –1 –1 –2 x streng monoton streng monoton streng monoton 0 1 2 3 4 f(x) 1 2 3 –1 –1 –2 x streng monoton steigend streng monoton fallend streng monoton steigend 0 1 2 3 4 f(x) 1 2 3 –1 –1 –2 x streng monoton steigend f streng monoton fallend streng monoton steigend Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv