Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

43 A C a x x a – x Q 3.2 Funktionsverlauf und erste Ableitung 3.06 Nebenstehend ist eine Polynomfunktion f dargestellt und es sind einige Tangenten eingezeichnet. Lässt sich 1) im Intervall [a; b], 2) im Intervall [b; c], 3) an der Stelle b, 4) an der Stelle d ein Zusammenhang zwischen der Tangentensteigung und dem Verlauf von f erkennen? Lösung: 1) An jeder Stelle x * ]a; b[ ist die Tangentensteigung positiv, also f’(x) > 0. Obwohl dies nur für die inneren Stellen des Intervalls [a; b] gilt, ist die Funktion f im gesamten Intervall [a; b] streng monoton steigend. 2) An jeder Stelle x * ]b; c[ ist die Tangentensteigung negativ, also f’(x) < 0. Die Funktion f ist im gesamten Intervall [b; c] streng monoton fallend. 3) An der Stelle b ist die Tangentensteigung gleich 0 (weil die Tangente parallel zur ersten Achse ist), also f’(b) = 0. Da f links von b streng monoton steigend und rechts von b streng monoton fallend ist, ist b eine lokale Maximumstelle von f. 4) An der Stelle d ist die Tangentensteigung gleich 0, also f’(d) = 0. Da aber f links und rechts von d streng monoton steigend ist, ist d keine lokale Maximumstelle von f. Aufgrund dieser Aufgabe kann man einige Sätze vermuten. Der folgende Monotoniesatz besagt, dass das Monotonieverhalten durch die erste Ableitung bestimmt wird. Satz Monotoniesatz Sei f: A ¥ R eine Polynomfunktion und I a A ein Intervall. Dann gilt: (1) f’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I  w  f streng monoton steigend in I (2) f’(x) < 0 für alle inneren Stellen x * I  w  f streng monoton fallend in I Aus der Aufgabe 3.06 erkennt man, dass an jeder lokalen Extremstelle p von f die Tangente parallel zur 1. Achse und somit f’(p) = 0 sein muss. Die Stellen p mit f’(p) ≠ 0 sind hingegen keine lokalen Extremstellen von f. Man sagt: Die Bedingung f’(p) = 0 ist notwendig dafür, dass p eine lokale Extremstelle von f ist. Satz Notwendige Bedingung für lokale Extremstellen: Ist p eine lokale Extremstelle einer Polynomfunktion f, dann ist f’(p) = 0 . In Aufgabe 3.06 stellt man aber auch fest: An der Stelle d gilt zwar f’(d) = 0, trotzdem ist d keine lokale Extremstelle von f. Man sagt: Die Bedingung f’(p) = 0 ist zwar notwendig, aber allein nicht hinreichend dafür, dass p eine lokale Extremstelle der Polynomfunktion f ist. Ob eine Stelle p mit f’(p) = 0 tatsächlich eine lokale Extremstelle von f ist, kann man zum Beispiel mit Hilfe des folgenden Satzes entscheiden. Satz Hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen: Ändert eine Polynomfunktion f an der Stelle p das Monotonieverhalten , dann ist p eine lokale Extremstelle von f. a b c d 1. A. 2. A. f Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv