Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

41 3.1 Wiederholung: Monotonie und Extremstellen von Funktionen Globale und lokale Extremstellen Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M a A. Eine Stelle p * M heißt „„ Maximumstelle von f in M , wenn f(x) ª f(p) für alle x * M. „„ Minimumstelle von f in M , wenn f(x) º f(p) für alle x * M. „„ Extremstelle von f in M , wenn p eine Maximumstelle oder Minimumstelle von f in M ist. Man unterscheidet globale und lokale Extremstellen einer Funktion. Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt „„ globale Maximumstelle von f , wenn p Maximumstelle von f im gesamten Definitionsbereich A ist, „„ globale Minimumstelle von f , wenn p Minimumstelle von f im gesamten Definitionsbereich A ist, „„ globale Extremstelle von f , wenn p globale Maximumstelle oder globale Minimumstelle von f ist. Unter einer lokalen Extremstelle der Funktion f versteht man hingegen eine Extremstelle p, die sich nur auf eine gewisse Umgebung U(p) der Stelle p bezieht. Unter einer Umgebung U(p) verstehen wir dabei ein beliebiges Intervall, welches p als innere Stelle enthält (dh. p ist keine Randstelle des Intervalls). Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt „„ lokale Maximumstelle von f , wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Maximumstelle von f in U(p) ist, „„ lokale Minimumstelle von f , wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Minimumstelle von f in U(p) ist, „„ lokale Extremstelle von f , wenn sie eine lokale Maximumstelle oder lokale Minimumstelle von f ist. Beispiel: Für die nebenstehende auf A = [0; 6] definierte Funktion f gilt: „„ 0 ist globale Maximumstelle von f, da f(x) ª f(0) für alle x * A. „„ 6 ist globale Minimumstelle von f, da f(x) º f(6) für alle x * A. „„ 2 ist keine globale Minimumstelle von f, weil es in A kleinere Funktionswerte als f(2) gibt. Wohl aber ist 2 eine lokale Mini- mumstelle von f, weil 2 beispielsweise Minimumstelle von f in der Umgebung U(2) = [1; 3] ist. „„ 5 ist keine globale Maximumstelle von f, weil es in A größere Funktionswerte als f(5) gibt. Wohl aber ist 5 eine lokale Maximumstelle von f, weil 5 beispielsweise Maximumstelle von f in der Umgebung U(5) = [4; 6] ist. Ist p eine lokale Maximumstelle von f, so nennt man den Punkt H = (p 1 f(p)) einen Hochpunkt des Graphen von f. Ist p eine lokale Minimumstelle von f, so nennt man den Punkt T = (p 1 f(p)) einen Tiefpunkt des Graphen von f. Im obigen Beispiel ist H = (5 1 4) ein Hochpunkt und T = (2 1 2) ein Tiefpunkt des Graphen von f. Beachte: Der Graph einer Polynomfunktion kann mehrere Hoch- bzw. Tiefpunkte haben. In einem Hoch- bzw. Tiefpunkt ändert die Funktion f ihr Monotonieverhalten. Hoch- und Tiefpunkte liegen daher stets an den Rändern der Monotonieintervalle. U(p) p 0 1 2 3 4 5 6 7 2. A. 1 2 3 4 5 6 1. A. f T H U(2) U(5) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv