Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

38 2 Grundbegriffe der Differentialrechnung „ 2.114 Was gibt der Differenzenquotient einer reellen Funktion f in einem Intervall [a; b] an?  die Änderung der Funktionswerte im Intervall [a; b]  das Verhältnis der Funktionswerte an den Stellen a und b  das Verhältnis der Funktionswerte zu den Argumenten in [a; b]  das Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in [a; b]  die Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b]  die mittlere Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b]  die mittlere Änderungsrate der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b]  die mittlere Ableitung in [a; b] „ 2.115 Was gibt der Differentialquotient einer reellen Funktion f an einer Stelle x an?  den Funktionswert an der Stelle x  die Änderung der Funktionswerte an der Stelle x  die Änderungsrate von f an der Stelle x  die Steigung der Funktion an der Stelle x  die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt (x 1 f(x))  den Winkel, den die Tangente im Punkt (x 1 f(x)) mit der positiven 1. Achse einschließt  die erste Ableitung von f an der Stelle x  die Ableitungsfunktion von f „ 2.116 Es sei f: A ¥ R . Ist f’(x) < 0 für alle x * A, so bedeutet dies:  f nimmt nur negative Funktionswerte an.  Der Graph von f liegt im zweiten Quadranten.  f ist nur für negative x definiert.  Die Steigung von f ist stets negativ.  Die Tangenten an den Graphen von f bilden mit der positiven 1. Achse stumpfe Winkel. „ 2.117 Ein Auto kostet 23000€, nach 3 Jahren ist es 13800€ und nach weiteren 3 Jahren 8280€ wert. 1) Berechne den Wertverlust im Zeitintervall [0; 3] bzw. [3; 6] (Intervallgrenzen in Jahren)! In welchem dieser Zeitintervalle ist der Wertverlust größer? 2) Wie groß ist der mittlere Wertverlust im Zeitintervall [0; 3] bzw. [3; 6]? 3) Wie groß ist der mittlere Wertverlust im Zeitintervall [t 1  ; t 2  ]? „ 2.118 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x · (x 2 + 1). Berechne f’(2) und vergleiche mit dem Differen- zenquotienten von f im Intervall [1,99; 2,01]! Wie groß ist der Unterschied? „ 2.119 Skizziere den Graphen der Funktion f mit f(x) = ​  1 _ x ​für x > 0! Der Graph wird mit wachsendem x immer flacher. Überprüfe dies durch Berechnung der mittleren Änderungsraten von f in den gleich langen Intervallen [0,5; 1,5], [10; 11] und [100; 101]! „ 2.120 Es sei r der Radius und A(r) der Flächeninhalt eines Kreises (r in Meter, A(r) in m 2 ). 1) Um wie viel nimmt A(r) zu, wenn der Radius von 1 auf 2, von 2 auf 3 bzw. von 3 auf 4 vergrößert wird? 2) Um wie viel nimmt A(r) im Mittel pro Meter Radius zu, wenn der Radius von 1 auf 4 vergrößert wird? 3) Zeige, dass das Ergebnis von 2) das arithmetische Mittel der Ergebnisse von 1) ist! „ 2.121 Es sei p(h) der Luftdruck in der Höhe h über dem Meeresniveau. Formuliere in Worten: 1) ​  Δp(h) _ Δh  ​≈ – k · p(h) 2) ​  dp(h) _ dh  ​≈ – k · p(h) (k * R + konstant) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv