Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

36 1 a b f(a) 0 t 1 k b – a f 2.5 Höhere Ableitungen Wir betrachten eine Polynomfunktion f, zum Beispiel: f(x) = x 5 + 2x 3 – 5x + 7 Wir bilden die Ableitung: f’(x) = 5x 4 + 6x 2 – 5 Die Funktion f’ können wir abermals differenzieren: (f’)’(x) = 20x 3 + 12x Statt (f’)’ schreibt man kürzer f’’ [lies: f zwei Strich]: f’’(x) = 20x 3 + 12x Die Funktion f’’ können wir wiederum differenzieren: (f’’)’(x) = 60x 2 + 12 Statt (f’’)’ schreibt man kürzer f’’’ [lies: f drei Strich]: f’’’(x) = 60x 2 + 12 Auf diese Weise könnte man beliebig weit fortfahren. Die weiteren Ableitungen werden wir jedoch nicht mehr brauchen. Definition Es sei f eine reelle Funktion. Man bezeichnet „„ die Funktion f’ als erste Ableitung von f, „„ die Funktion f’’ = (f’)’ als zweite Ableitung von f, „„ die Funktion f’’’ = (f’’)’ als dritte Ableitung von f. Beispiel: Es sei s: t ¦ s(t) eine Zeit-Ort-Funktion. Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t: v(t) = s’(t) Die Geschwindigkeit ist die Änderungsrate des Ortes zum Zeitpunkt t. Sie gibt an, wie schnell sich der Ort zum Zeitpunkt t ändert. Beschleunigung zum Zeitpunkt t: a(t) = v’(t) = s’’(t) Die Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t bzw. die Änderungsrate der Änderungsrate des Ortes zum Zeitpunkt t. Sie gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ändert. Aufgaben Grundkompetenzen 2.95 Berechne f’(x) und f’’(x)! a) f(x) = x + 3 c) f(x) = x 5 – x 4 + 3x 3 + 2 e) f(x) = x(x – 1)(x + 1) b) f(x) = ​  1 _ 2 ​x 2 + x 3 d) f(x) = x 7 – x 2 + 3x f) f(x) = (x – 1)(x 2 + 2) 2.96 Berechne f’(x) und f’’(x)! a) f(x) = ax + b  b)  f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d c) f(x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 2.97 Berechne f’(x), f’’(x) und f’’’(x)! a) f(x) = 5x 3 – 7x 2 + x – 8 b) f(x) = ax 5 – bx 3 + c c) f(x) = ax 6 – bx 5 + cx 2 2.98 Berechne f’(0), f’’(2) und f’’’(– 6) für f(x)! a) f(x) = x 4 – x 3 + 5 b) f(x) = x 2  (x 3 + 2) c) f(x) = x(x – 1) 2.99 Berechne die Geschwindigkeit v(10) und die Beschleunigung a(10) für die Zeit-Ort-Funktion s! a) s(t) = 2 · t 2 b) s(t) = 3 · t 3 – 1 c) s(t) = 4t 3 + t – 1 d) s(t) = 2t 4 – t 2 + 5 2.100 Für den zurückgelegten Weg beim freien Fall gilt (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands): s(t) = ​  g _ 2 ​· t 2  (t in Sekunden, s(t) in Meter) Stelle eine Formel für die Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t sowie eine Formel für die Beschleunigung a(t) zum Zeitpunkt t auf! Erklärt sich dadurch der Name „Erdbeschleunigung“ für die Konstante g? Ó Ó Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv