Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

35 2.4 Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Beweisaufgaben 2.83 Gegeben sei der Graph der Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ t 2 . Zeige, dass die Gerade durch die Punkte (a 1 a 2 ) und (b 1 b 2 ) parallel zur Tangente an der Stelle ​  a + b _ 2  ​ist! Wie kann dieses Ergebnis mit Hilfe von Geschwindigkeiten gedeutet werden? 2.84 Gegeben sei der Graph der Funktion f: x ¦ x 3 . Zeige, dass die Gerade durch die Punkte (a 1 a 3 ) und (b 1 b 3 ) parallel zur Tangente an den Graphen an der Stelle ​ 9 _____ ​  a 2 + ab + b 2 __ 3  ​ ​ist! 2.85 Zeige für die Funktion f mit f(x) = x n (n * N *), dass die Tangente an den Graphen von f im Ursprung mit der 1. Achse übereinstimmt, wenn n > 1 ist! Was gilt für n = 1? 2.86 Zeige, dass die Funktionen f mit f(x) = x 2 und g mit g(x) = x 2 + 3 dieselbe Ableitungsfunktion besitzen! Wie kann dieses Ergebnis geometrisch begründet werden? 2.87 Jemand liefert folgenden „Beweis“ für die Behauptung, dass die Ableitung jeder Funktion an jeder Stelle gleich 0 sein muss: „f hat an der Stelle x einen konstanten Wert. Da die Ableitung einer Konstanten gleich 0 ist, folgt f’(x) = 0.“ Wo liegt der Fehler? Aufgaben zur Leibniz’schen Schreibweise 2.88 Gegeben sei die Formel p = ​  1 _ 2 ​ ρ v 2 + q. Berechne: a) ​  dp _ dv ​ ( ρ und q konstant) b) ​  dp _ dq ​ ( ρ und v konstant) c) ​  dp _ d ρ ​ (v und q konstant) 2.89 Gegeben sei die Formel E = at + ​  b _ 2 ​t 2 . Berechne: a) ​  dE _ dt ​ (a und b konstant) b) ​  dE _ da ​ (b und t konstant) c) ​  dE _ db ​ (a und t konstant) 2.90 Gegeben sei die Formel E = ​  mv 2 _ 2  ​+ mgh. Berechne: a) ​  dE _ dh ​ (m, v, g konstant) c) ​  dE _ dv ​ (m, g, h konstant) b) ​  dE _ dm ​ (v, g, h konstant) d) ​  dE _ dg ​ (m, v, h konstant) 2.91 Drücke aus der Formel E = ​  mv 2 _ 2  ​+ mgh die Größe a) h durch die übrigen Größen aus und berechne ​  dh _ dE ​ (m, v, g konstant), b) m durch die übrigen Größen aus und berechne ​  dm _  dE ​ (v, g, h konstant), c) g durch die übrigen Größen aus und berechne ​  dg _ dE ​ (m, v, h konstant)! 2.92 Gegeben sei die Formel O = 2r 2 π + 2r π h. Ermittle die Ableitung a) von O nach r (h konstant),  b) von O nach h (r konstant)! 2.93 a) y = C · x 2 Zeige: ​  dy _  dx ​= ​  2y _ x  ​ d) z = ​  c _ 2 ​· x 2 – ​  1 _  2c ​ Zeige: x · ​  dz _ dx ​– 2z = ​  1 _ c ​ b) r = C · φ + φ 2 Zeige: ​  dr _  d φ ​ – ​  r _ φ ​ = φ e) u = v 3 + c · v 2 Zeige: ​  du _ dv ​= u · ​ 2  ​  3 _  v ​– ​  c · v _ u  ​  3 ​ c) a = C · z 2 + 1 Zeige: ​  da _  dz ​= 2 · ​  a – 1 _ z  ​ f) w = u 3 – 5 Zeige: ​  1 _ 3 ​· ​  dw _  du ​= ​  w + 5 _ u  ​ 2.94 N(t) sei die Anzahl der noch unzerfallenen Atome eines radioaktiven Stoffes zum Zeitpunkt t. Formuliere die folgende Beziehung in Worten! a) ​  ΔN(t) _ Δt  ​≈ – λ · N(t) ( λ * R + konstant) b) ​  dN(t) _ dt  ​≈ – λ · N(t) ( λ * R + konstant) B Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv