Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

32 2 Grundbegriffe der Differentialrechnung 2.58 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2x 2 + 2. Kreuze die richtigen Aussagen an!  f’(1) = f(1)  f’(–1) = f(–1)  f(3) = 5 · f’(1)  f’(3) + f’(4) = f’(7)  f’(–1) = f(1)  f’(1) = f(–1)  f’(–1) > 5 · f’(0)  f’(0) + f’(4) = f’(4) 2.59 Ermittle die Steigung der Funktion f an der Stelle p! a) f(x) = x 7 – x 2 – 1, p = 5 e) f(x) = (x 5 – x 2 ) · x, p = 0,5 b) f(x) = x 6 – x, p = – 3 f) f(x) = 3(x 4 – x 2 – x), p = – 2 c) f(x) = – x 3 + 2x 2 – x + 1, p = –1 g) f(x) = (x + 4)(x – 4), p = 4 d) f(x) = 1 – 2x 9 – x 2 , p = 0 h) f(x) = (x 3 – 1)(x 2 + 1), p = 1 2.60 Ermittle die Steigung der Funktion f an der Stelle p und das Maß des Neigungswinkels der Tangente im Punkt (p 1 f(p))! a) f(x) = 2x 2 – 3, p = –2 c) f(x) = x 6 – x 5 – x, p = 0 b) f(x) = 3 – x, p = 4 d) f(x) = 1 – x 7 , p = –1 2.61 An welchen Stellen hat die Funktion f die Steigung 5? a) f(x) = 5x 2 – 7 b) f(x) = 8x 3 – x c) f(x) = ​  1 _ 6 ​x(2x 2 + 3x + 18) 2.62 Bestimme einen Punkt Q auf dem Graphen der Funktion f, in dem die Tangente parallel zur Geraden g ist! a) f(x) = x 2 – 2x – 5, g: y = 2x – 1 c) f(x) = x 3 – 31x – 4, g: 4x + y = 7 b) f(x) = x 2 – 6x + 3, g: y = x + 3 d) f(x) = x 3 – x 2 – 1, g: y = 9 2.63 Bestimme einen von P verschiedenen Punkt Q auf dem Graphen der Funktion f, in dem die Tangente parallel zur Tangente im Punkt P ist! a) f(x) = x 3 , P = (1 1 f(1)) c) f(x) = x 3 – 3, P = (–1 1 f(–1)) b) f(x) = x 3 – x 2 – 4x + 4, P = (0 1 f(0)) d) f(x) = x 3 – x + 5, P = (3 1 f(3)) 2.64 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 + 4x + 3. 1) Berechne die Schnittpunkte mit den Achsen und die Steigungen der Tangenten in diesen Punkten! 2) In welchen Punkten des Graphen ist die Tangente zur ersten Achse (x-Achse) parallel, in welchen Punkten parallel zur Geraden 2x – y + 3 = 0? 3) In welchem Punkt des Graphen bildet die Tangente mit der positiven ersten Achse einen Winkel von 45°? 2.65 Gib eine Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt P des Graphen an! a) f(x) = ​  1 _ 3 ​· x 3 – x, P = (2 1 f(2)) b) f(x) = x 2  · (x – 1), P = (– 2 1 f(– 2)) 2.66 Ermittle Gleichungen jener Tangenten an den Graphen der Funktion f, die parallel zur Geraden g sind! a) f(x) = x · (x + 1), g: 9x – y = 5 b) f(x) = x 3 , g: 3x – y = 1 2.67 Die Höhe (in Meter) eines vom Boden lotrecht nach oben geschossenen Steins nach t Sekunden sei gegeben durch h(t) = 30t – 5t 2 . Berechne die Geschwindigkeit des Steins zu den Zeitpunkten 2 und 4 sowie zum Zeitpunkt des Aufschlagens auf dem Boden! 2.68 Es sei s eine Zeit-Ort-Funktion mit s(t) = 0,1t 3 – 0,8t 2 + 14,2 (t in Sekunden, s(t) in Meter). Berechne die Geschwindigkeit zu den Zeitpunkten 10, 20, 30, 40 und 50! Ó Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv