Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

31 2.4 Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Satz Summenregel: f(x) = g(x) + h(x) w f’(x) = g’(x) + h’(x) Beweis: Sei f(x) = g(x) + h(x). Dann gilt: f’(x) =  lim  z ¥ x   f(z) – f(x) __  z – x  =  lim  z ¥ x   g(z) + h(z) – [g(x) + h(x)] ____ z – x  =  lim  z ¥ x 2    g(z) – g(x) __ z – x  +   h(z) – h(x) __  z – x  3 = g’(x) + h’(x)  Man sagt auch: Eine Summe darf gliedweise differenziert werden. Die Summenregel gilt auch für mehr als zwei Summanden: Satz Allgemeine Summenregel: f(x) = f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x) w f’(x) = f 1 ’(x) + f 2 ’(x) + … + f n ’(x) Beweis: Wir überlegen uns den Beweis zunächst für eine Funktion der Form: f(x) = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) Setzen wir zur Abkürzung g(x) = f 2 (x) + f 3 (x), dann gilt f(x) = f 1 (x) + g(x). Daraus folgt: f’(x) = f 1 ’(x) + g’(x) = f 1 ’(x) + f 2 ’(x) + f 3 ’(x) Auf analoge Weise kann man die Regel für vier, fünf, sechs, … Summanden beweisen.  Mit Hilfe der bisher bewiesenen Regeln können wir jede Polynomfunktion differenzieren: f(x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 w f’(x) = a n · n · x n – 1 + a n – 1 · (n – 1) · x n – 2 + … + a 1 Beispiel: f(x) = 5x 3 – 3x 2 + x + 1 w f’(x) = 5 · 3x 2 – 3 · 2x 1 + 1 + 0 = 15x 2 – 6x + 1 Aufgaben Grundkompetenzen 2.53 Ermittle f’(x)! a) f(x) = 1 c) f(x) = x e) f(x) = x + 1 g) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = 15 d) f(x) = 2x f) f(x) = x – 1 h) f(x) = – 2x + 1 2.54 Ermittle f’(x)! a) f(x) = x 2 c) f(x) = x 12 e) f(x) = 3x 2 g) f(x) = 4x 5 + 3 b) f(x) = x 5 d) f(x) = x 150 f) f(x) = 2x 8 h) f(x) = – x 7 – 5 2.55 Ermittle f’(x)! a) f(x) = x 6 + x 3 d) f(x) = – 6x 4 – 2x 3 + 12 g) f(x) = 7x 7 + 3x 3 – x b) f(x) = x 6 + x 3 – x + 8 e) f(x) = x 5 – 18x 2 + 6x h) f(x) = 2x 11 – 13x 10 – 10 c) f(x) = 4x 3 – 7x 2 + 3x – 5 f) f(x) = x 5 + x 4 – 2x + 1 i) f(x) = 7,5x 25 – 3,5x 15 2.56 Ermittle f’(3)! a) f(x) = x 7 – x 2 – x c) f(x) = x(x 3 – x) e) f(x) = 5 – x b) f(x) = x 4 – x 5 – 3 d) f(x) = 2 – x 6 f) f(x) = (x – 3)(x + 2) 2.57 Kreuze die richtigen Aussagen an!  Die Ableitungsfunktion der Funktion f: x ¦ x 2 + x + 1 ist linear.  Die Ableitungsfunktion der Funktion f: x ¦ x 2 + 1 ist eine direkte Proportionalitätsfunktion.  Die Ableitungsfunktion der Funktion f: x ¦ – x ist streng monoton fallend.  Die Ableitungsfunktion der Funktion f: x ¦ x 2 ist für x º 0 streng monoton wachsend. Ó Ó Ó Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv