Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

30 1 a b f(a) 0 t 1 k b – a f 2.4 Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Bisher haben wir den Differentialquotienten einer Funktion f: A ¥ R lediglich an einer bestimmten Stelle x betrachtet. Kann man aber jeder Stelle x * A den Differentialquotienten f’(x) zuordnen, so kann man auch die Funktion f’: A ¥ R ‡ x ¦ f’(x) betrachten. Definition Die Funktion f’: x ¦ f’(x) nennt man Ableitungsfunktion von f oder kurz Ableitung von f . Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man Ableiten oder Differenzieren . Im Folgenden beschäftigen wir uns mit der A leitung einer Polynomfunktion. Eine Polynom- funktion kann als „Summe“ von Potenzfunktionen der Form p n  (x) = c · x n aufgefasst werden. So ist etwa die Polynomfunktion f mit f(x) = 5 · x 3 – 3 · x 2 + x + 1 von der Form: f(x) = p 3  (x) + p 2  (x) + p 1  (x) + p 0  (x)  mit p 3  (x) = 5 · x 3 , p 2  (x) = – 3 · x 2 , p 1  (x) = x, p 0  (x) = 1 Um Polynomfunktionen auf einfache Weise differenzieren zu können, werden wir uns Regeln für die Ableitung von Funktionen der folgenden Art überlegen: „„ konstante Funktion: f(x) = c (c konstant) „„ Potenzfunktion: f(x) = x n (n * N *) „„ Vielfaches einer Funktion: f(x) = c · g(x) (c konstant) „„ Summe von Funktionen: f(x) = g(x) + h(x) Satz Ableitung einer konstanten Funktion: f(x) = c  w  f’(x) = 0  (c * R ) Beweis: f(x) = c  w  f’(x) = ​ lim  z ¥ x​ ​​  f(z) – f(x) __  z – x  ​= ​ lim  z ¥ x​ ​​  c – c _  z – x ​= ​ lim    z ¥ x​ ​0 = 0  2.52 Es sei  a) f(x) = x 2 ,  b) f(x) = x 3 . Ermittle f’(x)! Ergibt sich eine allgemeine Vermutung? Satz Potenzregel für natürliche Exponenten: f(x) = ​x​ n ​ w  f’(x) = n · ​x​ n – 1 ​  (n * N *) Beweis: Sei f(x) = x n (mit n * N *). Dann gilt unter Benutzung der Regel von Horner: f’(x) = ​ lim  z ¥ x​ ​​  f(z) – f(x) __  z – x  ​= ​ lim  z ¥ x​ ​​  z n – x n _  z – x  ​= ​ lim  z ¥ x​ ​​  (z – x)(z n – 1 + z n – 2  · x + z n – 3  · x 2 + … + z · x n – 2 + x n – 1 ) ________  z – x  ​= = ​ lim  z ¥ x​ ​(z n – 1 + z n – 2  · x + … + z · x n – 2 + x n – 1 ) = (x n – 1 + x n – 2  · x + … + x · x n – 2 + x n – 1 ) = 12222222222222222222222222222222322222222222222222222222222222245 12222222222222222222222222222222322222222222222222222222222222245 n Summanden n Summanden   = (x n – 1 + x n – 1 + … + x n – 1 + x n – 1 ) = n · x n – 1 12222222222222222222222222322222222222222222222222245 n Summanden  Spezialfall (Ableitung der identischen Funktion): f(x) = x  w  f’(x) = 1 Beweis: f(x) = x = x 1 w  f’(x) = 1 · x 0 = 1  Satz Regel vom konstanten Faktor: f(x) = c · g(x)  w  f’(x) = c · g’(x)  (c konstant) Beweis: Sei f(x) = c · g(x). Dann gilt: f’(x) = ​ lim  z ¥ x​ ​​  f(z) – f(x) __  z – x  ​= ​ lim  z ¥ x​ ​​  c · g(z) – c · g(x) ___  z – x  ​= ​ lim    z ¥ x​ ​c · ​  g(z) – g(x) __  z – x  ​= c · g’(x)  Man sagt auch: Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv