Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

29 2.3 Leibniz’sche Schreibweise für den Differenzen- und Differentialquotienten Definition von Begriffen mit Hilfe des Differentialquotienten Im Folgenden geht es nicht darum, Differentialquotienten auszurechnen , sondern verschiedene Begriffe mit Hilfe des Differentialquotienten zu definieren . 2.48 Dreht man das Lenkrad eines Autos um einen Winkel mit dem Maß x (beginnend in der Geradeausstellung), so drehen sich die Vorderräder um einen Winkel mit dem Maß w(x). Die Vorderräder reagieren dabei unter- schiedlich auf eine Änderung des Lenkradeinschlags x. Dreht man zB das Lenkrad immer um 1° weiter, so drehen sich die Vorderräder im Allgemeinen immer weniger mit. Man sagt: Die „Empfindlichkeit“ des Vorderradeinschlags bezüglich des Lenkradeinschlags wird immer kleiner. 1) Definiere den Begriff „mittlere Empfindlichkeit des Vorderradeinschlags im Lenkradeinschlag­ intervall [x; z]“! 2) Definiere den Begriff „Empfindlichkeit des Vorderradeinschlags beim Lenkradeinschlag x“! Lösung: Wir betrachten die Funktion w: x ¦ w(x), die jedem Lenkradeinschlag x den dazugehörigen Vorderradeinschlag w(x) zuordnet. 1) Die mittlere Empfindlichkeit ​ _ e​ (x, z) des Vorderradeinschlags im Intervall [x; z] kann als mittlere Änderungsrate der Funktion w im Intervall [x; z] angesehen werden: ​ _ e​(x) ÷ = ​  w(z) – w(x) __  z – x  ​= ​  Δw _  Δx ​ [Das Zeichen „ ÷ = “ wird gelesen: „ist definiert durch“] 2) Die Empfindlichkeit e(x) des Vorderradeinschlags beim Lenkradeinschlag x kann als Änderungsrate der Funktion w an der Stelle x angesehen werden: e(x) ÷ = ​ lim  z ¥ x​ ​​  w(z) – w(x) __ z – x  ​= ​lim    Δ x ¥ 0​ ​​  Δw _  Δx ​ Aufgaben Vertiefung 2.49 Es sei Q(t) die zum Zeitpunkt t durch einen elektrischen Leiter fließende Ladung. Die mittlere Stromstärke gibt an, wie viel Ladung im Mittel pro Zeiteinheit durch den Querschnitt des Leiters fließt. Definiere die folgenden Begriffe und schreibe sie auch in der Leibniz’schen Schreibweise an! 1) Mittlere Stromstärke ​ _ I​ (t, z) im Zeitintervall [t; z] 2) Stromstärke I(t) zum Zeitpunkt t 2.50 Es sei W(t) die Arbeit, die ein Motor im Zeitintervall [0; t] verrichtet. Die mittlere Leistung des Motors gibt an, wie viel Arbeit im Mittel pro Zeiteinheit verrichtet wird. Definiere die folgenden Begriffe und schreibe sie auch in der Leibniz’schen Schreibweise an! 1) Mittlere Leistung ​ _ P​ (t, z) im Zeitintervall [t; z] 2) Leistung P(t) zum Zeitpunkt t 2.51 Jeder Meerestiefe m sei die Temperatur T(m) zugeordnet. Der mittlere Temperaturgradient gibt an, um wie viel sich die Temperatur im Mittel pro Tiefeneinheit ändert. Definiere die folgenden Begriffe und schreibe sie auch in der Leibniz’schen Schreibweise an! 1) Mittlerer Temperaturgradient ​ _ G​ (m, z) im Tiefenintervall [m; z] 2) Temperaturgradient G(m) in der Tiefe m z z – x x w(z) w(z) – w(x) w(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Ve lags öbv