Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

28 2 Grundbegriffe der Differentialrechnung Da sich der lockere Umgang mit den Differentialen dx und dy in Anwendungen bewährt hatte, versuchte man später, diese Ausdrücke für sich allein zu definieren. Dies gelang im Prinzip auch im 20. Jahrhundert, wodurch die Leibniz’sche Schreibweise nachträglich (nach ca. 300 Jahren) gerechtfertigt wurde. Wir können darauf nicht näher eingehen, da dazu weitreichende Mittel aus der höheren Mathematik erforderlich sind. Weitere Schreibweisen Statt z – x = Δ x setzt man manchmal z – x = h und erhält damit: ​  f(z) – f(x) __  z – x  ​= ​  f(x + Δx) – f(x) __  Δx  ​= ​  f(x + h) – f(x) __ h  ​ bzw. f’(x) = ​  dy _  dx ​= ​ lim  z ¥ x​ ​​  f(z) – f(x) __  z – x  ​= ​lim  Δ x ¥ 0​ ​​  f(x + Δx) – f(x) __  Δx  ​= ​ lim    h ¥ 0​ ​​  f(x + h) – f(x) __ h  ​ Beispiel: Es seien K(x) die Kosten, die bei der Produktion von x Mengeneinheiten entstehen. Folgende Begriffe sind gebräuchlich: „„ Kostenzuwachs im Mengenintervall [x; x + h] = K(x + h) – K(x) „„ mittlerer Kostenzuwachs im Mengenintervall [x; x + h] = ​  K(x + h) – K(x) __ h  ​ „„ Kostenzuwachsrate bei der Produktion von x Einheiten = K’(x) = ​ lim    h ¥ 0​ ​​  K(x + h) – K(x) __ h  ​ Man bezeichnet K’(x) als Grenzkosten bei der Produktion von x Mengeneinheiten . Ist h klein, dann gilt: K’(x) ≈ ​  K(x + h) – K(x) __ h  ​ Für h = 1 erhält man: K’(x) ≈ ​  K(x + 1) – K(x) __ 1  ​= K(x + 1) – K(x). Deshalb gilt: Grenzkosten K’(x) ≈ Kosten für die Produktion der nächsten Mengeneinheit In der Physik schreibt man statt f’(x) gelegentlich f· (x) [lies: f Punkt von x]. Beispiel: Für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t schreibt man v(t) = s· (t). Aufgaben Grundkompetenzen 2.44 Schreibe die folgende Aussage mit Hilfe der Leibniz’schen Schreibweise an! a) V’(t) = ​lim    z ¥ t​ ​​  V(z) – V(t) __ z – t  ​ b) V’(r) = ​lim    z ¥ r​ ​​  V(z) – V(r) __  z – r  ​ c) A’(r) = ​lim  z ¥ r​ ​​  A(z) – A(r) __ z – r  ​ d) F’(v) = ​ lim  z ¥ v​ ​​  F(z) – F(v) __ z – v  ​ 2.45 Schreibe die folgende Aussage mit Hilfe der Leibniz’schen Schreibweise an! a) s(t) = ​  g _ 2 ​t 2 w  s’(t) = gt b) A(s) = s 2 w  A’(s) = 2s c) O(r) = 4 π r 2 w  O’(r) = 8 π r 2.46 Schreibe die Aussage auf drei weitere Arten an! a) s’(t) = ​lim  z ¥ t​ ​​  s(z) – s(t) __ z – t  ​ b) g’(x) = ​ lim  h ¥ 0​ ​​  g(x + h) – g(x) __  h  ​= b c) f’(u) = ​ lim  z ¥ u​ ​​  f(z) – f(u) __ z – u  ​ 2.47 In einer Fabrik entstehen bei einer Tagesproduktion von x Mengeneinheiten die Kosten K(x) = 0,02x 3 – 1,5x 2 + 50x + 400 (in Euro). Die aktuelle Tagesproduktion beträgt 25 Mengeneinheiten. 1) Wie hoch ist der Kostenzuwachs bei Erhöhung der Produktion um 2 Mengeneinheiten? 2) Ermittle die Grenzkosten K’(25) und überprüfe, ob K’(25) ungefähr mit dem Kostenzuwachs durch Ausweitung der Produktion um eine Einheit übereinstimmt! x z f z – x f(z) – f(x) f(x) f(z) x x + Δx f Δx f(x + Δx) – f(x) f(x) f(x + Δx) x x + h f h f(x + h) – f(x) f(x) f(x + h) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv