Malle Mathematik verstehen 7, Schulbuch

27 1 a b f(a) 0 t 1 k b – a f 2.3 Leibniz’sche Schreibweise für den Differenzen- und Differentialquotienten In vielen Anwendungen ist für den Differenzen- und Differentialquotienten eine Schreibweise gebräuchlich, die auf Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 –1716) zurückgeht. Dieser setzte: z – x = Δx [lies: Delta x] und f(z) – f(x) = Δy [lies: Delta y] Damit lässt sich der Differenzenquotient so schreiben: ​  f(z) – f(x) __  z – x  ​= ​  Δy _ Δx ​ Nähert sich z unbegrenzt der Zahl x, so wird sowohl Δ x als auch Δ y immer kleiner. Schließlich erhält man „unendlich kleine Größen“, die Leibniz Differentiale nannte und mit dx bzw. dy bezeichnete. Die Zahl, der sich der Quotient ​  Δy _  Δx ​dabei unbegrenzt nähert, bezeichnete Leibniz mit ​  dy _ dx ​[lies: dy nach dx]. Er fasste diese Zahl als Quotienten der Differentiale dy und dx auf und nannte sie folgerichtig Differentialquotient . Unsere bisherige Schreibweise lässt sich leicht in die Leibniz’sche Schreibweise übersetzen: bisherige Schreibweise: Leibniz’sche Schreibweise: f’(x) = ​ lim  z ¥ x​ ​​  f(z) – f(x) __ z – x  ​ ​  dy _ dx ​= ​lim  Δ x ¥ 0​ ​​  Δy _  Δx ​ Diese Überlegungen sind aber nicht unproblematisch. Was sind „unendlich kleine Größen“? Wie kann man aus zwei „unendlich kleinen Größen“ deren Quotienten berechnen? Da die Differentiale dx und dy für sich allein sinnlos sind, kann ​  dy _ dx ​nicht als Bruch mit einem Zähler und einem Nenner aufgefasst werden. Das Symbol ergibt nur als Ganzes einen Sinn. Man liest deshalb auch nicht „dy durch dx“, sondern „dy nach dx“. Obwohl Leibniz seine Vorstellungen nicht näher erklären konnte und obwohl seine Schreibweise vielfach kritisiert wurde, wird sie noch heute häufig verwendet. (Statt ​  dy _ dx ​schreibt man manchmal auch ​  df _  dx ​oder ​  df(x) _ dx  ​). Ein Vorteil des Symbols ​  dy _ dx ​gegenüber dem Symbol f’(x) besteht darin, dass es an die Definition des Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten erinnert. Die Vorstellung eines Bruchs kann dabei für manche intuitive Überlegungen von Vorteil sein, auch wenn sie streng genommen nicht gerechtfertigt ist. Insbesondere sind die Symbole ​  Δy _  Δx ​ und ​  dy _ dx ​dann nützlich, wenn es auf die genaue Angabe der Intervallgrenzen bzw. der betrachteten Stelle nicht ankommt. Zwei Beispiele mögen die Verwendung der Leibniz’schen Schreibweise illustrieren: Beispiel 1: In nebenstehender Abbildung ist die Steigung der Sekante gleich ​  Δy _ Δx ​ . Strebt Δ x gegen 0, so strebt die Sekanten­ steigung ​  Δy _ Δx ​gegen die Tangentensteigung ​  dy _ dx ​ . Beispiel 2: Wenn sich in einem Zeitintervall der Länge Δ t der Ort um Δ s ändert, so beträgt die mittlere Geschwindigkeit in diesem Wegintervall ​  Δs _ Δt ​ . Strebt Δ t gegen 0, so strebt die mittlere Geschwindigkeit ​  Δs _ Δt ​gegen die Geschwindigkeit ​  ds _ dt  ​zum Zeitpunkt t. Ó yy76wr f x x + Δ x s t Δ x Δ y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv